5. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку А и перпендикулярной прямой АВ, если А (1; 2; -3), B (4; 8; -6).

Решение:

1. Нормальный вектор плоскости:

Так как плоскость перпендикулярна прямой АВ, то вектор $$\vec{AB}$$ является нормальным вектором к этой плоскости.

Найдем координаты вектора $$\vec{AB}$$:

• \[ \vec{AB} = (B_x - A_x; B_y - A_y; B_z - A_z) \]
• \[ \vec{AB} = (4 - 1; 8 - 2; -6 - (-3)) \]
• \[ \vec{AB} = (3; 6; -3) \]

Нормальный вектор $$\vec{n} = (3; 6; -3)$$. Для удобства можно использовать коллинеарный ему вектор, разделив на 3:

• \[ \vec{n'} = (1; 2; -1) \]

2. Уравнение плоскости:

Уравнение плоскости, проходящей через точку $$(x_0; y_0; z_0)$$ с нормальным вектором $$(A; B; C)$$, имеет вид:

Формула:

• \[ A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0 \]

Подставим координаты точки А (1; 2; -3) и нормального вектора $$\vec{n'} = (1; 2; -1)$$:

• \[ 1(x - 1) + 2(y - 2) + (-1)(z - (-3)) = 0 \]
• \[ (x - 1) + 2(y - 2) - (z + 3) = 0 \]
• \[ x - 1 + 2y - 4 - z - 3 = 0 \]
• \[ x + 2y - z - 8 = 0 \]

Уравнение плоскости: $$x + 2y - z - 8 = 0$$

Ответ: $$x + 2y - z - 8 = 0$$