5. Солнечные лучи падают на землю под углом φ = 28° к ее поверхности. Под каким углом к горизонту следует расположить плоское зеркало, чтобы направить отраженные от него световые лучи горизонтально от Солнца?

Решение:

По закону отражения, угол падения равен углу отражения. Чтобы отражённый луч был горизонтален (направлен вдоль поверхности земли), а падающий луч падал под углом \( \varphi = 28^{\circ} \) к поверхности, зеркало нужно расположить так, чтобы падающий луч отражался ровно вверх, то есть перпендикулярно к зеркалу. Если падающий луч направлен под углом \( \varphi \) к поверхности, то угол между падающим лучом и зеркалом (перпендикуляром к поверхности) будет \( 90^{\circ} - \varphi \).

Угол падения \( \alpha_{пад} \) равен углу отражения \( \alpha_{отр} \).

Для того чтобы отраженный луч был горизонтален, он должен быть параллелен поверхности земли. Пусть \( \theta \) — угол, под которым зеркало расположено к горизонту.

Падающий луч образует с горизонтом угол \( \varphi \).

Угол между падающим лучом и перпендикуляром к зеркалу равен углу падения.

Угол между падающим лучом и поверхностью земли равен \( 28^{\circ} \).

Угол между падающим лучом и нормалью к зеркалу равен \( 90^{\circ} - (90^{\circ} - \theta) - \varphi \) — это неверно.

Рассмотрим углы относительно горизонта:

Угол падения \( \alpha_i \) = угол между падающим лучом и нормалью к зеркалу.

Угол отражения \( \alpha_r \) = угол между отраженным лучом и нормалью к зеркалу.

\( \alpha_i = \alpha_r \)

Падающий луч образует угол \( 28^{\circ} \) с горизонтом.

Отраженный луч должен быть горизонтален, то есть образовывать угол \( 0^{\circ} \) с горизонтом.

Пусть \( \theta \) — угол, который составляет зеркало с горизонтом.

Нормаль к зеркалу образует угол \( 90^{\circ} - \theta \) с горизонтом.

Угол между падающим лучом и нормалью к зеркалу (угол падения) равен \( \alpha_i \).

Угол между падающим лучом и горизонтом = \( 28^{\circ} \).

Угол между нормалью и горизонтом = \( 90^{\circ} - \theta \).

\( \alpha_i = | (90^{\circ} - \theta) - 28^{\circ} | \) или \( \alpha_i = (90^{\circ} - \theta) + 28^{\circ} \) (в зависимости от расположения).

Угол между отражённым лучом и горизонтом = \( 0^{\circ} \).

Угол между отражённым лучом и нормалью к зеркалу (угол отражения) равен \( \alpha_r \).

\( \alpha_r = | (90^{\circ} - \theta) - 0^{\circ} | = 90^{\circ} - \theta \) (если нормаль направлена вверх).

Поскольку \( \alpha_i = \alpha_r \), то \( | (90^{\circ} - \theta) - 28^{\circ} | = 90^{\circ} - \theta \).

Рассмотрим случай, когда падающий луч находится ниже нормали:

\( (90^{\circ} - \theta) - 28^{\circ} = 90^{\circ} - \theta \) \(\rightarrow \) \( -28^{\circ} = 0 \), что невозможно.

Рассмотрим случай, когда падающий луч находится выше нормали:

\( 28^{\circ} - (90^{\circ} - \theta) = 90^{\circ} - \theta \) \(\rightarrow \) \( 28^{\circ} - 90^{\circ} + \theta = 90^{\circ} - \theta \) \(\rightarrow \) \( -62^{\circ} + \theta = 90^{\circ} - \theta \) \(\rightarrow \) \( 2\theta = 152^{\circ} \) \(\rightarrow \) \( \theta = 76^{\circ} \).

Однако, угол падения должен быть меньше 90 градусов.

Альтернативный подход:

Угол между падающим лучом и поверхностью = \( 28^{\circ} \).

Угол между отражённым лучом и поверхностью = \( 0^{\circ} \).

Пусть \( \alpha \) — угол между зеркалом и поверхностью (горизонтом).

Угол между падающим лучом и зеркалом = \( 90^{\circ} - 28^{\circ} = 62^{\circ} \) (если рассматривать как угол с плоскостью).

Угол падения — это угол между лучом и нормалью.

Угол между падающим лучом и нормалью: \( \alpha_i \).

Угол между отражённым лучом и нормалью: \( \alpha_r \).

\( \alpha_i = \alpha_r \).

Пусть \( \theta \) — угол, под которым зеркало наклонено к горизонту.

Падающий луч образует угол \( 28^{\circ} \) с горизонтом.

Отражённый луч образует угол \( 0^{\circ} \) с горизонтом.

Угол между падающим лучом и нормалью к зеркалу равен \( \alpha_i \).

Угол между отражённым лучом и нормалью к зеркалу равен \( \alpha_r \).

Угол между зеркалом и горизонтом = \( \theta \).

Угол между нормалью к зеркалу и горизонтом = \( 90^{\circ} - \theta \).

Угол между падающим лучом и горизонтом = \( 28^{\circ} \).

Угол падения \( \alpha_i \) = \( | (90^{\circ} - \theta) - 28^{\circ} | \) или \( (90^{\circ} - \theta) + 28^{\circ} \).

Угол отражения \( \alpha_r \) = \( | (90^{\circ} - \theta) - 0^{\circ} | = 90^{\circ} - \theta \).

Приравниваем: \( | (90^{\circ} - \theta) - 28^{\circ} | = 90^{\circ} - \theta \).

Если \( (90^{\circ} - \theta) - 28^{\circ} > 0 \): \( 90^{\circ} - \theta - 28^{\circ} = 90^{\circ} - \theta \) \(\rightarrow \) \( -28^{\circ} = 0 \) (неверно).

Если \( (90^{\circ} - \theta) - 28^{\circ} < 0 \): \( -(90^{\circ} - \theta - 28^{\circ}) = 90^{\circ} - \theta \) \(\rightarrow \) \( -90^{\circ} + \theta + 28^{\circ} = 90^{\circ} - \theta \) \(\rightarrow \) \( -62^{\circ} + \theta = 90^{\circ} - \theta \) \(\rightarrow \) \( 2\theta = 152^{\circ} \) \(\rightarrow \) \( \theta = 76^{\circ} \).

Проверим: Угол между нормалью и горизонтом \( 90^{\circ} - 76^{\circ} = 14^{\circ} \).

Угол падения: \( | 14^{\circ} - 28^{\circ} | = |-14^{\circ}| = 14^{\circ} \).

Угол отражения: \( | 14^{\circ} - 0^{\circ} | = 14^{\circ} \).

Углы равны. Следовательно, угол наклона зеркала к горизонту \( \theta = 76^{\circ} \).

Это угол, под которым зеркало должно быть наклонено к горизонту.

Ответ: 76°.