5) Решите задачу. Найдите х.

Решение:

Задачи 1-10 решаются с применением теорем о вписанных и центральных углах, а также углах между касательной и хордой.

1. 1. Треугольник OBC равнобедренный (OB = OC = радиус). Угол OBC = угол OCB. \( \angle BOC \) - центральный угол. \( \angle BAC \) - вписанный угол, опирающийся на дугу BC. \( \angle BOC = 2 \angle BAC \). Треугольник OCH прямоугольный (OH ⊥ BC). \( \angle OHC = 90^{\circ} \). \( \angle BOC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \angle OCB = 90^{\circ} - \angle OCB \). \( \angle HBC = \angle OBC \). \( \angle HOC = 90^{\circ} \). \( \angle OBC = 90^{\circ} - \angle OCB \). \( \angle ABC \) - вписанный угол. \( \angle BOC = 2 \angle BAC \). \( \angle OBC = \angle OCB \). \( \angle BOC = 2 \angle HBC \). \( \angle BOC = 60^{\circ} \) (в условии не указано, предположение по рисунку). \( \angle HBC = 30^{\circ} \). \( \angle OCB = 30^{\circ} \). \( \angle ABC = 30^{\circ} \). \( \angle BAC = 60^{\circ} \). \( x = \angle BAC = 60^{\circ} \). \( \angle COB = 180^{\circ} - 2 \times 30^{\circ} = 120^{\circ} \). \( \angle BAC = 120^{\circ} / 2 = 60^{\circ} \). \( x = 60^{\circ} \). Но есть запись \( \angle OBC=30^{\circ} \) и \( 90^{\circ} \). \( \angle COH = 90^{\circ} \). \( \angle OHC = 90^{\circ} \). \( \angle BCH = 90^{\circ} \). \( \angle HOC = 90^{\circ} \). \( \angle BOC = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} \). \( \angle BAC = 90^{\circ} / 2 = 45^{\circ} \). \( x = 45^{\circ} \).
2. 2. \( CO = 4 \) (радиус). \( \angle AOC = 60^{\circ} \) (центральный угол). \( x = \angle ACO \). \( \triangle AOC \) — равнобедренный \( OA = OC \). \( \angle OAC = \angle OCA = x \). \( \angle AOC + \angle OAC + \angle OCA = 180^{\circ} \). \( 60^{\circ} + x + x = 180^{\circ} \). \( 2x = 120^{\circ} \). \( x = 60^{\circ} \). \( \triangle AOC \) — равносторонний.
3. 3. \( OD = 14 \) (радиус). \( \triangle ODC \) — равнобедренный \( OD = OC \). \( \angle ODC = \angle OCD \). \( \angle DOC \) — центральный. \( \angle DAC \) — вписанный. \( \angle DOC = 2 \angle DAC \). \( x = \angle ODC \). \( \angle ADC = \angle ADO + \angle ODC \). \( \angle C = 55^{\circ} \). \( \angle DAC = 19^{\circ} \). \( \angle DOC = 2 \times 19^{\circ} = 38^{\circ} \). \( \triangle ODC \) — равнобедренный. \( \angle ODC = \angle OCD = (180^{\circ} - 38^{\circ}) / 2 = 142^{\circ} / 2 = 71^{\circ} \). \( x = 71^{\circ} \).
4. 4. \( \angle D = 55^{\circ} \). \( \angle A = 19^{\circ} \). \( \angle F \) — угол между касательной (AC) и хордой (AF). \( \angle CAF \) — угол между касательной (AC) и хордой (AD). \( \angle CFA \) — угол между касательной (AF) и хордой (AC). \( \angle ADC = 55^{\circ} \) (вписанный). \( \angle CFA = 55^{\circ} \) (угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на дугу, заключенную между ними). \( x = \angle CFD \). \( \angle ACD = 180^{\circ} - 55^{\circ} - 19^{\circ} = 106^{\circ} \). \( \angle C = 55^{\circ} \) (вписанный). \( \angle ACF = 180^{\circ} - 55^{\circ} - 19^{\circ} = 106^{\circ} \). \( \angle CAF = 180^{\circ} - 55^{\circ} - 19^{\circ} = 106^{\circ} \). \( \angle AFC = 55^{\circ} \). \( \angle CAD = 19^{\circ} \). \( \angle ACD = 180^{\circ} - 55^{\circ} - 19^{\circ} = 106^{\circ} \). \( x = 106^{\circ} \).
5. 5. \( \angle D = x \). \( \angle C = 65^{\circ} \). \( \angle F = 46^{\circ} \). \( \angle DAF = 46^{\circ} \). \( \angle ACD = 65^{\circ} \). \( \triangle ACF \) — внешний угол \( \angle F = 46^{\circ} \). \( \angle D = x \). \( \angle DCA = 65^{\circ} \). \( \angle CAD = 180^{\circ} - 65^{\circ} - 46^{\circ} = 69^{\circ} \). \( \angle D = \angle CAD = 69^{\circ} \) (вписанные углы, опирающиеся на одну дугу CD). \( x = 69^{\circ} \).
6. 6. \( \angle CAF = 28^{\circ} \). \( \angle CDF = 48^{\circ} \). \( \angle CFA = x \). \( \angle ACD = 28^{\circ} \) (как \( \angle CAF \)). \( \angle CFD = 48^{\circ} \) (как \( \angle CDF \)). \( \angle AFC = 180^{\circ} - 48^{\circ} - 28^{\circ} = 104^{\circ} \). \( x = 104^{\circ} \).
7. 7. \( AO = 9 \) (радиус). \( \angle AOC = 60^{\circ} \) (центральный). \( x = \angle ACO \). \( \triangle AOC \) — равнобедренный \( OA = OC \). \( \angle OAC = \angle OCA = x \). \( 60^{\circ} + x + x = 180^{\circ} \). \( 2x = 120^{\circ} \). \( x = 60^{\circ} \).
8. 8. \( \angle ABC \) (развернутый) = \( 360^{\circ} - 253^{\circ} = 107^{\circ} \). \( \angle AOC \) (большой) = \( 253^{\circ} \). \( \angle AOC \) (малый) = \( 360^{\circ} - 253^{\circ} = 107^{\circ} \). \( \angle ADC = x \). \( \triangle ODC \) — равнобедренный \( OD = OC \). \( \angle ODC = \angle OCD = (180^{\circ} - 107^{\circ}) / 2 = 73^{\circ} / 2 = 36.5^{\circ} \). \( x = 36.5^{\circ} \).
9. 9. \( CO = 16 \) (радиус). \( \triangle AOC \) — прямоугольный \( \angle AOC = 90^{\circ} \). \( OA = OC = 16 \) (радиусы). \( x = \angle CAO \). \( \triangle AOC \) — равнобедренный прямоугольный. \( \angle OAC = \angle OCA = x \). \( 90^{\circ} + x + x = 180^{\circ} \). \( 2x = 90^{\circ} \). \( x = 45^{\circ} \).
10. 10. \( CB = 16 \). \( CB \) — хорда. \( \triangle COB \) — равнобедренный \( OC = OB = R \). \( \angle COB = 2 \angle CAB = 2x \). \( \angle OCB = \angle OBC = (180^{\circ} - 2x) / 2 = 90^{\circ} - x \). \( \triangle ACB \) — прямоугольный \( \angle ACB = 90^{\circ} \) (вписанный угол, опирающийся на диаметр AB). \( \angle CAB = x \). \( \angle CBA = 90^{\circ} - x \). \( \triangle COB \) — равнобедренный. \( OB = OC = R \). \( CB = 16 \). \( \angle COB = 2 \angle CAB = 2x \). \( \triangle COB \) — равнобедренный. \( CB \) — основание. \( \angle OCB = \angle OBC \). \( \angle OCB + \angle OBC + \angle COB = 180^{\circ} \). \( 2 \angle OBC + 2x = 180^{\circ} \). \( \angle OBC = 90^{\circ} - x \). \( \angle ABC = 90^{\circ} - x \). \( CB = 16 \). \( \triangle COB \) — равнобедренный. \( OC = OB \). \( \angle COB = 2x \). \( \angle OBC = \angle OCB = (180^{\circ} - 2x) / 2 = 90^{\circ} - x \). \( \triangle ACB \) — прямоугольный \( \angle ACB = 90^{\circ} \). \( \angle CAB = x \). \( \angle CBA = 180^{\circ} - 90^{\circ} - x = 90^{\circ} - x \). \( \triangle COB \) — равнобедренный. \( CB = 16 \). \( R = ? \). \( \angle COB = 2x \). \( OB = OC = R \). \( CB = 2 R \sin(\angle COB / 2) \). \( 16 = 2 R \sin(x) \). \( R = 16 / (2 \sin(x)) = 8 / \sin(x) \).

Ответ: 1. 45°; 2. 60°; 3. 71°; 4. 106°; 5. 69°; 6. 104°; 7. 60°; 8. 36.5°; 9. 45°; 10. R = 8 / sin(x).