5. Решите уравнение: log_{0,1} (x²+4x-20)=0.

Решение:

Чтобы решить логарифмическое уравнение \( \log_{0,1} (x^2+4x-20) = 0 \), сначала нужно привести его к виду, где под логарифмом будет выражение, равное степени основания.

Любое число в степени 0 равно 1. Поэтому, мы можем записать:

\[ x^2+4x-20 = (0,1)^0 \]\[ x^2+4x-20 = 1 \]

Теперь перенесём 1 в левую часть уравнения, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ x^2+4x-20 - 1 = 0 \]\[ x^2+4x-21 = 0 \]

Решим полученное квадратное уравнение. Используем дискриминант.

Коэффициенты уравнения: \( a=1 \), \( b=4 \), \( c=-21 \).

Дискриминант \( D \) вычисляется по формуле \( D = b^2 - 4ac \):

\[ D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100 \]\[ \sqrt{D} = \sqrt{100} = 10 \]"

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два действительных корня, которые находятся по формуле \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \):

\[ x_1 = \frac{-4 + 10}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3 \]\[ x_2 = \frac{-4 - 10}{2 \cdot 1} = \frac{-14}{2} = -7 \]"

Важно! При решении логарифмических уравнений всегда необходимо проверять, чтобы выражение под логарифмом было положительным (область допустимых значений, ОДЗ).

Для нашего уравнения ОДЗ:

\[ x^2+4x-20 > 0 \]

Проверим найденные корни:

• Для \( x_1 = 3 \): \( 3^2 + 4 · 3 - 20 = 9 + 12 - 20 = 21 - 20 = 1 \). Так как \( 1 > 0 \), корень \( x_1 = 3 \) подходит.
• Для \( x_2 = -7 \): \( (-7)^2 + 4 · (-7) - 20 = 49 - 28 - 20 = 21 - 20 = 1 \). Так как \( 1 > 0 \), корень \( x_2 = -7 \) подходит.

Оба корня удовлетворяют условию ОДЗ.

Ответ: x₁ = 3, x₂ = -7.