5. Решить уравнение 3^(2x-1) + 3^(2x) = 108

Решение:

Данное уравнение является показательным. Для его решения выполним следующие шаги:

1. Перепишем первое слагаемое, используя свойство степеней \( a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n} \):
   \( 3^{2x-1} = \frac{3^{2x}}{3^1} = \frac{3^{2x}}{3} \)
2. Подставим это в исходное уравнение:
   \[ \frac{3^{2x}}{3} + 3^{2x} = 108 \]
3. Для удобства введем замену переменной. Пусть \( y = 3^{2x} \). Тогда уравнение примет вид:
   \[ \frac{y}{3} + y = 108 \]
4. Приведем к общему знаменателю:
   \[ \frac{y + 3y}{3} = 108 \]
5. Умножим обе части на 3:
   \[ 4y = 108 \cdot 3 \] \[ 4y = 324 \]
6. Найдем \( y \):
   \[ y = \frac{324}{4} \] \[ y = 81 \]
7. Теперь вернемся к замене переменной: \( 3^{2x} = y \). Подставим найденное значение \( y \):
   \[ 3^{2x} = 81 \]
8. Представим 81 как степень тройки:
   \[ 3^{2x} = 3^4 \]
9. Так как основания степеней равны, приравниваем показатели степеней:
   \[ 2x = 4 \]
10. Найдем \( x \):
    \[ x = \frac{4}{2} \] \[ x = 2 \]

Ответ: x = 2.