№5. Решить уравнение: 2x^2 - 13x - 32 = 0.

Привет! Давай вместе разберемся с этим квадратным уравнением. Это совсем не страшно, если идти шаг за шагом.

Дано:

• Квадратное уравнение: \( 2x^2 - 13x - 32 = 0 \)

Решение:

Это уравнение вида \( ax^2 + bx + c = 0 \), где:

• \( a = 2 \)
• \( b = -13 \)
• \( c = -32 \)

Чтобы найти корни квадратного уравнения, мы будем использовать формулу дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac \]

А затем найдем корни по формуле:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

1. Вычисляем дискриминант (D):
   \[ D = (-13)^2 - 4 \times 2 \times (-32) \]
   \[ D = 169 - (-256) \]
   \[ D = 169 + 256 \]
   \[ D = 425 \]
2. Находим корни уравнения:
   Так как \( D = 425 > 0 \), у нас будет два действительных корня.
   
   Первый корень (x1):
   \[ x_1 = \frac{-(-13) + \sqrt{425}}{2 \times 2} \]
   \[ x_1 = \frac{13 + \sqrt{425}}{4} \]
   
   Второй корень (x2):
   \[ x_2 = \frac{-(-13) - \sqrt{425}}{2 \times 2} \]
   \[ x_2 = \frac{13 - \sqrt{425}}{4} \]

Мы можем оставить ответ в таком виде, либо упростить \( \sqrt{425} \), если это возможно. \( 425 = 25 \times 17 \), поэтому \( \sqrt{425} = \sqrt{25 \times 17} = 5\sqrt{17} \).

Тогда корни будут:

• \( x_1 = \frac{13 + 5\sqrt{17}}{4} \)
• \( x_2 = \frac{13 - 5\sqrt{17}}{4} \)

Ответ:

Корни уравнения: \( x_1 = \frac{13 + 5\sqrt{17}}{4} \) и \( x_2 = \frac{13 - 5\sqrt{17}}{4} \).