5. Ребро куба равно 7 см. Найди площадь поверхности и объем этого куба. Во сколько раз увеличится площадь поверхности и во сколько раз — объем куба, если его ребро увеличить втрое?

Задание 5. Куб: площадь поверхности и объем

1. Находим площадь поверхности и объем исходного куба

Дано:

• Ребро куба: \( a = 7 \) см

Найти: Площадь поверхности \( S \) и объем \( V \).

Решение:

1. Площадь поверхности куба вычисляется по формуле: \[ S = 6a^2 \]
2. Подставляем значение ребра: \[ S = 6 x (7 \text{ см})^2 = 6 x 49 \text{ см}^2 = 294 \text{ см}^2 \]
3. Объем куба вычисляется по формуле: \[ V = a^3 \]
4. Подставляем значение ребра: \[ V = (7 \text{ см})^3 = 343 \text{ см}^3 \]

Ответ: Площадь поверхности куба 294 см², объем 343 см³.

2. Находим площадь поверхности и объем куба, если ребро увеличить втрое

Дано:

• Новое ребро куба: \( a_{new} = 3 x a = 3 x 7 \text{ см} = 21 \) см

Найти: Площадь поверхности \( S_{new} \) и объем \( V_{new} \).

Решение:

1. Вычисляем новую площадь поверхности: \[ S_{new} = 6a_{new}^2 = 6 x (21 \text{ см})^2 = 6 x 441 \text{ см}^2 = 2646 \text{ см}^2 \]
2. Вычисляем новый объем: \[ V_{new} = a_{new}^3 = (21 \text{ см})^3 = 9261 \text{ см}^3 \]

Ответ: Новая площадь поверхности 2646 см², новый объем 9261 см³.

3. Определяем, во сколько раз увеличилась площадь поверхности и объем

Находим, во сколько раз увеличилась площадь поверхности:

• Разделим новую площадь на старую: \[ \frac{S_{new}}{S} = \frac{2646 \text{ см}^2}{294 \text{ см}^2} = 9 \]

Находим, во сколько раз увеличился объем:

• Разделим новый объем на старый: \[ \frac{V_{new}}{V} = \frac{9261 \text{ см}^3}{343 \text{ см}^3} = 27 \]

Общее правило: Если ребро геометрической фигуры увеличивается в \( k \) раз:

• Площадь поверхности увеличивается в \( k^2 \) раз.
• Объем увеличивается в \( k^3 \) раз.

В нашем случае \( k = 3 \):

• Площадь увеличилась в \( 3^2 = 9 \) раз.
• Объем увеличился в \( 3^3 = 27 \) раз.

Ответ: Площадь поверхности увеличится в 9 раз, а объем — в 27 раз.