5. Разложите на множители: a) 16-(y+1)²; б) 1/27 a³-x³; в) a⁴-16b⁴; г) 3с-с²-3a + a².

Решение:

1. а)

   Это разность квадратов. Формула: a² - b² = (a - b)(a + b).

   Здесь a = 4, а b = (y+1).

   \[ 16 - (y+1)^2 = (4 - (y+1))(4 + (y+1)) \]

   Раскрываем скобки:

   \[ (4 - y - 1)(4 + y + 1) = (3 - y)(5 + y) \]

   Ответ: (3 - y)(5 + y)

2. б)

   Это разность кубов. Формула: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²).

   Здесь a = 1/3 a, а b = x.

   \[ \frac{1}{27}a^3 - x^3 = \left(\frac{1}{3}a\right)^3 - x^3 \]

   \[ = \left(\frac{1}{3}a - x\right)\left(\left(\frac{1}{3}a\right)^2 + \frac{1}{3}a \cdot x + x^2\right) \]

   \[ = \left(\frac{1}{3}a - x\right)\left(\frac{1}{9}a^2 + \frac{1}{3}ax + x^2\right) \]

   Ответ: (1/3 a - x)(1/9 a² + 1/3 ax + x²)

3. в)

   Это разность квадратов, где оба члена тоже являются квадратами.

   Формула: a² - b² = (a - b)(a + b).

   \[ a^4 - 16b^4 = (a^2)^2 - (4b^2)^2 \]

   \[ = (a^2 - 4b^2)(a^2 + 4b^2) \]

   Первый множитель (a² - 4b²) снова является разностью квадратов:

   \[ a^2 - 4b^2 = a^2 - (2b)^2 = (a - 2b)(a + 2b) \]

   Собираем все вместе:

   \[ = (a - 2b)(a + 2b)(a^2 + 4b^2) \]

   Ответ: (a - 2b)(a + 2b)(a² + 4b²)

4. г)

   Здесь нужно сгруппировать слагаемые.

   Сгруппируем первые два и последние два:

   \[ (3c - c^2) + (-3a + a^2) \]

   Вынесем общий множитель из каждой скобки:

   \[ c(3 - c) + a(a - 3) \]

   Чтобы получить одинаковые скобки, изменим знак во второй скобке:

   \[ c(3 - c) - a(3 - a) \]

   Нет, это не так. Давайте перегруппируем иначе:

   \[ (a^2 - 3a) + (3c - c^2) \]

   Вынесем a из первой скобки и c из второй:

   \[ a(a - 3) + c(3 - c) \]

   Это снова не дает одинаковых скобок. Попробуем так:

   \[ a^2 - c^2 - 3a + 3c \]

   \[ (a^2 - c^2) - (3a - 3c) \]

   Разложим первую скобку как разность квадратов, а из второй вынесем 3:

   \[ (a - c)(a + c) - 3(a - c) \]

   Теперь у нас есть общий множитель (a - c):

   \[ = (a - c)((a + c) - 3) \]

   \[ = (a - c)(a + c - 3) \]

   Ответ: (a - c)(a + c - 3)