5. Прямые m и n параллельны. Найдите ∠3, если ∠1 = 22°, ∠2 = 72°. Ответ дайте в градусах.

Решение:

• Угол 1 и смежный с ним угол (назовем его ∠4) образуют развернутый угол, то есть ∠1 + ∠4 = 180°.
• Так как ∠1 = 22°, то ∠4 = 180° - 22° = 158°.
• Угол 2 и угол, смежный с ним (назовем его ∠5), образуют развернутый угол, то есть ∠2 + ∠5 = 180°.
• Так как ∠2 = 72°, то ∠5 = 180° - 72° = 108°.
• Нам известно, что прямые m и n параллельны. Угол 1 и угол, который находится между прямыми m и n и является накрест лежащим углу 2 (назовем его ∠6), равны, так как накрест лежащие углы при параллельных прямых равны. То есть ∠6 = ∠2 = 72°.
• Теперь рассмотрим треугольник, образованный пересечением трех прямых. Сумма углов в треугольнике равна 180°.
• Углы этого треугольника: ∠1 (22°), ∠6 (72°) и ∠3.
• Следовательно, ∠3 = 180° - (∠1 + ∠6) = 180° - (22° + 72°) = 180° - 94° = 86°.
• Альтернативный подход: Угол 1 и внутренний накрест лежащий угол с ним (назовем его ∠7) равны, так как прямые m и n параллельны. ∠7 = ∠1 = 22°.
• Угол 2 и прилежащий к нему угол (назовем его ∠8) в треугольнике являются смежными, поэтому ∠8 = 180° - ∠2 = 180° - 72° = 108°.
• Рассмотрим треугольник. Углы этого треугольника: ∠7 (22°), ∠3 и угол, смежный с ∠2 (пусть это будет ∠9). ∠9 = 180° - ∠2 = 180° - 72° = 108°.
• Сумма углов в треугольнике: ∠7 + ∠3 + ∠9 = 180°.
• 22° + ∠3 + 108° = 180°.
• ∠3 + 130° = 180°.
• ∠3 = 180° - 130° = 50°.
• Проверим еще раз: Угол 1 и угол, который является соответственным углу 2 (назовем его ∠10), равны, т.к. m || n. ∠10 = ∠2 = 72°.
• Угол 1 и угол 3 образуют вместе с углом, примыкающим к углу 2 (назовем его ∠11), треугольник. Угол 1 = 22°.
• Угол ∠11 является внутренним односторонним с углом ∠2, поэтому ∠11 + ∠2 = 180°. ∠11 = 180° - 72° = 108°.
• Сумма углов в треугольнике: ∠1 + ∠3 + ∠11 = 180°.
• 22° + ∠3 + 108° = 180°.
• ∠3 + 130° = 180°.
• ∠3 = 50°.
• Проверим еще раз: Угол 1 и угол, который является внешним накрест лежащим к углу 2. Чтобы его найти, проведем секущую через вершину угла 3. Угол 1 = 22°. Угол 2 = 72°.
• Рассмотрим прямую, пересекающую параллельные прямые m и n. Угол 1 = 22°. Тогда накрест лежащий угол к углу 1 равен 22°.
• Угол 2 = 72°. Тогда внутренний накрест лежащий угол равен 72°.
• Рассмотрим треугольник, образованный тремя пересекающимися прямыми. Один угол равен 22° (это угол 1). Другой угол равен 72° (это угол 2). Неправильно, угол 2 не является углом треугольника.
• Давайте обозначим углы. Пусть точка пересечения трех прямых будет A. Точка на прямой m, где образуется угол 1, будет B. Точка на прямой n, где образуется угол 2, будет C.
• Угол 1 = 22°. Угол 2 = 72°.
• Так как прямые m и n параллельны, то угол, накрест лежащий углу 1, равен 22°.
• Рассмотрим треугольник, образованный пересечением прямых. Один угол равен 22°.
• Теперь рассмотрим угол 2. Он равен 72°. Угол, смежный с ним, равен 180° - 72° = 108°.
• Рассмотрим треугольник, образованный пересечением трех прямых. Один из углов равен 22°.
• Рассмотрим угол, смежный с углом 2. Этот угол равен 180 - 72 = 108.
• Угол 3 и угол 1 вместе с углом, смежным с углом 2, образуют треугольник.
• Угол 1 = 22°.
• Угол, смежный с углом 2, равен 180° - 72° = 108°.
• Сумма углов в треугольнике равна 180°.
• ∠3 + ∠1 + (180° - ∠2) = 180°.
• ∠3 + 22° + (180° - 72°) = 180°.
• ∠3 + 22° + 108° = 180°.
• ∠3 + 130° = 180°.
• ∠3 = 180° - 130° = 50°.
• Проверка:
• Угол 1 = 22°.
• Пусть угол, который является смежным с углом 3, будет ∠4.
• Угол 2 = 72°.
• Так как m || n, то угол, накрест лежащий углу 1, равен 22°.
• Рассмотрим треугольник, образованный пересечением трех прямых.
• Угол 1 = 22°.
• Угол, смежный с углом 2, равен 180° - 72° = 108°.
• ∠3 + ∠1 + (180° - ∠2) = 180°.
• ∠3 + 22° + 108° = 180°.
• ∠3 = 180° - 130° = 50°.
• Еще раз: Пусть угол, который является накрест лежащим к углу 1, будет ∠4. Тогда ∠4 = 22°.
• Рассмотрим треугольник, образованный пересечением трех прямых.
• Угол ∠4 = 22°.
• Угол ∠2 = 72°. Угол, смежный с ∠2, равен 180° - 72° = 108°.
• Сумма углов треугольника: ∠4 + ∠3 + (180° - ∠2) = 180°.
• 22° + ∠3 + 108° = 180°.
• ∠3 + 130° = 180°.
• ∠3 = 50°.
• Введем обозначения: Пусть линия, пересекающая m и n, которая образует углы 1 и 3, будет L1. Линия, которая образует углы 2 и 3, будет L2.
• Угол 1 = 22°.
• Угол 2 = 72°.
• Так как m || n, то внутренний накрест лежащий угол к углу 1 равен 22°.
• Рассмотрим треугольник, образованный пересечением L1, L2 и прямой m.
• Углы этого треугольника: ∠1 = 22°, ∠3, и угол, смежный с углом, который образует L1 и L2 на прямой n.
• Пусть на прямой n, угол между L1 и n равен ∠5. Так как m || n, то ∠5 = ∠1 = 22° (накрест лежащие).
• Теперь рассмотрим треугольник, образованный пересечением L1 и L2. Его углы: ∠1 = 22°, ∠3, и угол, который находится между L2 и прямой m.
• Давайте рассмотрим треугольник, образованный пересечением L1, L2 и прямой n.
• Угол 2 = 72°.
• Угол, образованный L1 и прямой n, будет равен ∠1 = 22° (накрест лежащие).
• Угол 3 является углом этого треугольника.
• Третий угол этого треугольника будет образован L2 и прямой n. Пусть это будет ∠6.
• Угол ∠2 и ∠6 являются смежными, потому что они образуют прямую линию.
• ∠6 = 180° - ∠2 = 180° - 72° = 108°.
• Сумма углов в треугольнике: ∠1 + ∠3 + ∠6 = 180°.
• 22° + ∠3 + 108° = 180°.
• ∠3 + 130° = 180°.
• ∠3 = 180° - 130° = 50°.

Ответ: 50