5. При фотографировании муравья сверху его изображение получилось уменьшенным в три раза. Каково фокусное расстояние объектива фотоаппарата, если муравей находится на расстоянии d = 28 см от него?

Решение:

Дано:

• Увеличение \( \beta = -3 \) (изображение уменьшенное, значит, кратность увеличения меньше 1, но в условии сказано "уменьшенным в три раза", что часто интерпретируется как \( \left| \beta \right| = 3 \), при этом изображение действительное и перевернутое. Если изображение получилось уменьшенным, а не увеличенным, то \( \left| \beta \right| = 1/3 \). Будем исходить из того, что объектив фотоаппарата создает действительное, перевернутое и уменьшенное изображение. Поэтому \( \beta = -1/3 \) ).
• Расстояние от предмета до объектива \( d = 28 \) см.

Найти:

• Фокусное расстояние объектива \( F \).

Формула тонкой линзы:

\[ \frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f} \]

Формула увеличения:

\[ \beta = \frac{f}{d} \]

Из формулы увеличения выразим \( f \):

\[ f = \beta \cdot d \]

Подставим данное значение увеличения \( \beta = -1/3 \) (так как изображение уменьшенное и действительное):

\[ f = -\frac{1}{3} \cdot 28 \text{ см} = -\frac{28}{3} \text{ см} \]

Теперь подставим \( d \) и \( f \) в формулу тонкой линзы:

\[ \frac{1}{F} = \frac{1}{28} + \frac{1}{-\frac{28}{3}} \]

\[ \frac{1}{F} = \frac{1}{28} - \frac{3}{28} \]

\[ \frac{1}{F} = \frac{1 - 3}{28} = \frac{-2}{28} = -\frac{1}{14} \]

\[ F = -14 \text{ см} \]

Отрицательное фокусное расстояние означает, что линза рассеивающая. Однако объектив фотоаппарата — это собирающая линза, которая формирует действительное изображение.

Переосмыслим условие: Если изображение получилось уменьшенным в три раза, то это значит, что отношение размеров изображения к предмету равно 1/3. Для объектива фотоаппарата, который формирует действительное, перевернутое изображение, увеличение \( \beta = -1/3 \).

Если речь идет о масштабе, то:

Пусть \( H \) - высота муравья, \( h \) - высота изображения.

Условие "уменьшенным в три раза" означает \( h = H/3 \).

Величина увеличения \( \left| \beta \right| = \frac{h}{H} = \frac{H/3}{H} = \frac{1}{3} \).

Для действительного изображения \( \beta = -1/3 \).

Тогда \( f = \beta \cdot d = -\frac{1}{3} \cdot 28 \text{ см} = -\frac{28}{3} \text{ см} \).

Подставляем в формулу тонкой линзы:

\[ \frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{28} + \frac{1}{-28/3} = \frac{1}{28} - \frac{3}{28} = \frac{-2}{28} = -\frac{1}{14} \]\[ F = -14 \text{ см} \]

Возможно, в условии имеется в виду, что МУРАВЕЙ НАХОДИТСЯ НА РАССТОЯНИИ 28 см ОТ ИЗОБРАЖЕНИЯ, а не от объектива. Это маловероятно.

Переинтерпретация: Часто в задачах такого типа под "уменьшенным в N раз" подразумевают \( \beta = -N \) (для увеличения) или \( \beta = -1/N \) (для уменьшения).

Проверим, если \( d = 28 \) см и \( \beta = -3 \) (увеличение в 3 раза):

\[ f = \beta \cdot d = -3 \cdot 28 \text{ см} = -84 \text{ см} \]\[ \frac{1}{F} = \frac{1}{28} + \frac{1}{-84} = \frac{3}{84} - \frac{1}{84} = \frac{2}{84} = \frac{1}{42} \]\[ F = 42 \text{ см} \]

Это тоже нелогично для фотографирования муравья.

Вернемся к исходной интерпретации: уменьшенное в 3 раза изображение, действительное.

\( d = 28 \) см, \( \left| \beta \right| = 1/3 \), \( \beta = -1/3 \).

\( f = \beta d = -1/3 \cdot 28 = -28/3 \) см. Это означает, что изображение мнимое, а объектив фотоаппарата создает действительное изображение.

Если же изображение действительное и уменьшенное, то \( d > F \) и \( f > 0 \).

Пусть \( \frac{h}{H} = \frac{1}{3} \). Для действительного изображения \( \beta = -1/3 \).

\( \frac{f}{d} = -1/3 \) → \( f = -d/3 \). Но \( f \) должно быть положительным для действительного изображения.

Возможная ошибка в условии или его интерпретации.

Предположим, что "уменьшенным в три раза" означает, что масштаб изображения \( 1:3 \), и оно действительное.

Тогда \( \frac{h}{H} = 1/3 \). Величина увеличения \( \left| \beta \right| = 1/3 \).

Для действительного изображения \( \beta = -1/3 \).

\( f/d = -1/3 \) → \( f = -d/3 \) → \( f = -28/3 \).

Если предположить, что \( d \) - это расстояние до изображения, а \( f \) - до предмета, это не соответствует стандартной записи.

Рассмотрим задачу, где \( d \) - расстояние до предмета, \( f \) - расстояние до изображения, \( F \) - фокусное расстояние.

Условие: уменьшенное изображение в 3 раза.

Это означает, что \( \left| \beta \right| = \frac{f}{d} = \frac{1}{3} \). Для объектива фотоаппарата изображение действительное, поэтому \( f > 0 \).

Значит, \( f = d/3 \).

Подставляем в формулу тонкой линзы:

\[ \frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f} \]\[ \frac{1}{F} = \frac{1}{28} + \frac{1}{28/3} = \frac{1}{28} + \frac{3}{28} = \frac{4}{28} = \frac{1}{7} \]\[ F = 7 \text{ см} \]

Проверим:

Если \( F = 7 \) см, \( d = 28 \) см, то \( \frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d} = \frac{1}{7} - \frac{1}{28} = \frac{4 - 1}{28} = \frac{3}{28} \).

\( f = 28/3 \) см. Это положительное значение, значит, изображение действительное.

\( \beta = f/d = (28/3) / 28 = 1/3 \). Увеличение \( 1/3 \), что означает уменьшение в 3 раза.

Это соответствует условию.

Ответ: Фокусное расстояние объектива фотоаппарата равно 7 см.