5. Постройте график функции $$y = \begin{cases} 2,5x - 1, & \text{если } x < 2, \\ -3,5x + 11, & \text{если } 2 \le x \le 3, \\ x - 1, & \text{если } x > 3 \end{cases}$$. Определите, при $$y = m$$ имеет два решения.

Решение:

Построим график заданной кусочно-линейной функции.

• 1. Для $$x < 2$$, $$y = 2.5x - 1$$. Это луч, исходящий из точки при $$x=2$$. Найдем значение $$y$$ при $$x=2$$: $$y = 2.5 imes 2 - 1 = 5 - 1 = 4$$. Точка (2, 4) — начало луча (не включается). Возьмем другую точку, например, при $$x=0$$: $$y = 2.5 imes 0 - 1 = -1$$. Точка (0, -1).
• 2. Для $$2 \le x \le 3$$, $$y = -3.5x + 11$$. Это отрезок. Найдем значения $$y$$ на концах отрезка:
  • При $$x=2$$: $$y = -3.5 imes 2 + 11 = -7 + 11 = 4$$. Точка (2, 4) (включается).
  • При $$x=3$$: $$y = -3.5 imes 3 + 11 = -10.5 + 11 = 0.5$$. Точка (3, 0.5) (включается).
• 3. Для $$x > 3$$, $$y = x - 1$$. Это луч, исходящий из точки при $$x=3$$. Найдем значение $$y$$ при $$x=3$$: $$y = 3 - 1 = 2$$. Точка (3, 2) — начало луча (не включается). Возьмем другую точку, например, при $$x=4$$: $$y = 4 - 1 = 3$$. Точка (4, 3).

Теперь проанализируем график. Прямая $$y = m$$ будет иметь два пересечения с графиком функции в следующих случаях:

• Когда прямая проходит через точку (3, 0.5) (т.е. $$m=0.5$$) и пересекает первый луч.
• Когда прямая проходит через точку (3, 2) (т.е. $$m=2$$) и пересекает первый луч.
• Когда прямая проходит через точку (2, 4) (т.е. $$m=4$$) и не пересекает первый луч (что невозможно, так как $$y$$ в первом луче стремится к 4, но не достигает ее).

Более точно:

• Если $$m = 0.5$$, то одно решение из второго отрезка (точка (3, 0.5)) и еще одно решение из первого луча (так как $$y$$ в первом луче может быть меньше 4).
• Если $$m = 4$$, то одно решение из второго отрезка (точка (2, 4)) и одно решение из первого луча (так как $$y$$ в первом луче стремится к 4).

Рассмотрим значения $$m$$, при которых $$y=m$$ пересекает график в двух точках:

• $$m=0.5$$ (точка (3, 0.5) и точка на первом луче, где $$2.5x-1=0.5 ightarrow 2.5x=1.5 ightarrow x=0.6$$. Таким образом, $$x=0.6 < 2$$ и $$x=3 > 2$$, поэтому 2 решения).
• $$m=2$$ (точка на третьем луче, где $$x-1=2 ightarrow x=3$$, но $$x > 3$$, так что это не решение. Точка на первом луче, где $$2.5x-1=2 ightarrow 2.5x=3 ightarrow x=1.2$$. $$1.2 < 2$$ - одно решение. Точка на втором отрезке $$y=2$$. $$-3.5x+11=2 ightarrow -3.5x=-9 ightarrow x=9/3.5 ightarrow x=18/7 ightarrow x ≈ 2.57$$. $$2 ≤ 2.57 ≤ 3$$ - второе решение. Таким образом, $$m=2$$ дает 2 решения).
• $$m=4$$ (точка (2, 4) из второго отрезка. Также, $$y=4$$ из первого луча достигается при $$x=2$$, но $$x<2$$, поэтому эта точка не входит в первый луч. Для $$x > 3$$, $$y=x-1$$ не может быть равно 4, так как $$x-1 > 3-1 = 2$$. Следовательно, при $$m=4$$ только одно решение).

Таким образом, два решения получаются при $$m=0.5$$ и $$m=2$$. Однако, в задании указана надпись "Добщия", что может означать, что ищется общее значение $$y=m$$. В таком случае, следует рассмотреть случаи, где $$y=m$$ пересекает график в двух точках.

Пересечение с первым лучом ($$y=2.5x-1$$): $$2.5x-1=m$$. $$x = (m+1)/2.5$$. Для $$x<2$$: $$(m+1)/2.5 < 2 ightarrow m+1 < 5 ightarrow m < 4$$.

Пересечение со вторым отрезком ($$y=-3.5x+11$$): $$-3.5x+11=m$$. $$x = (11-m)/3.5$$. Для $$2 ≤ x ≤ 3$$: $$2 ≤ (11-m)/3.5 ≤ 3$$. $$7 ≤ 11-m ≤ 10.5$$. $$-4 ≤ -m ≤ -0.5$$. $$0.5 ≤ m ≤ 4$$.

Пересечение с третьим лучом ($$y=x-1$$): $$x-1=m$$. $$x = m+1$$. Для $$x>3$$: $$m+1 > 3 ightarrow m > 2$$.

Теперь найдем $$m$$, при которых есть ровно два решения:

• Если $$m = 0.5$$ (граничное значение второго отрезка). Первое решение: $$x=0.6 < 2$$. Второе решение: $$x=3$$. Итого 2 решения.
• Если $$m = 2$$ (нижняя граница третьего луча, но $$x>3$$, так что оно не войдет). Для второго отрезка $$x = (11-2)/3.5 = 9/3.5 ≈ 2.57$$ (входит). Для первого луча $$x=(2+1)/2.5=3/2.5=1.2$$ (входит). Итого 2 решения.
• Если $$m = 4$$ (верхняя граница второго отрезка). Для первого луча $$x=(4+1)/2.5=2$$, но $$x<2$$, так что не входит. Для второго отрезка $$x=(11-4)/3.5=7/3.5=2$$. Итого 1 решение.

Таким образом, $$m$$ может быть $$0.5$$ или $$2$$. Надпись "Добщия" может намекать на сумму или на конкретное значение, которое, возможно, является ответом в другом контексте.

Ответ: 0.5, 2