5. Полоний $$^{210}_{84}$$Po, период полураспада которого $$T=138$$ сут, используют в виде сплавов с другими металлами для производства мощных и компактных источников тепла, применяемых в космических установках. Сколько ядер полония $$^{210}_{84}$$Po, находящихся в обшивке космического корабля, распадется за время полета корабля продолжительностью $$\Delta t = 276$$ сут, если начальная масса полония в обшивке $$m_0 = 1.26$$ мг? Постоянная Авогадро $$N_A = 6.0 \cdot 10^{23}$$ моль⁻¹.

Решение:

1. Найдем молярную массу полония ($$M$$). Массовое число равно 210, значит, молярная масса полония равна $$M = 210$$ г/моль.
2. Переведем начальную массу полония в граммы: $$m_0 = 1.26$$ мг $$= 1.26 \times 10^{-3}$$ г.
3. Найдем начальное количество вещества полония (в молях): \[ n_0 = \frac{m_0}{M} = \frac{1.26 \times 10^{-3} \text{ г}}{210 \text{ г/моль}} = 0.006 \times 10^{-3} \text{ моль} = 6 \times 10^{-6} \text{ моль} \]
4. Найдем начальное число ядер полония: \[ N_0 = n_0 \cdot N_A = 6 \times 10^{-6} \text{ моль} \cdot 6.0 \times 10^{23} \text{ моль}⁻¹ = 36 \times 10^{17} = 3.6 \times 10^{18} \text{ ядер} \]
5. Определим постоянную распада ($$\lambda$$) через период полураспада ($$T$$): \[ \lambda = \frac{\ln 2}{T} = \frac{\ln 2}{138 \text{ сут}} \]
6. Найдем количество распавшихся ядер, используя закон радиоактивного распада: \[ \Delta N = N_0 (1 - e^{-\lambda \Delta t}) \] Подставим значения: $$\lambda \Delta t = \frac{\ln 2}{138 \text{ сут}} \cdot 276 \text{ сут} = 2 \ln 2 = \ln 2^2 = \ln 4$$.
7. Рассчитаем количество распавшихся ядер: \[ \Delta N = N_0 (1 - e^{-\ln 4}) = N_0 (1 - e^{\ln (1/4)}) = N_0 (1 - \frac{1}{4}) = N_0 \cdot \frac{3}{4} \]
8. Подставим начальное число ядер: \[ \Delta N = 3.6 \times 10^{18} \text{ ядер} \cdot \frac{3}{4} = 2.7 \times 10^{18} \text{ ядер} \]

Ответ: $$2.7 \times 10^{18}$$ ядер.