№ 5. Площадь осевого сечения конуса равна 20 см², а высота конуса 2 см. Вычислите площадь полной поверхности и объем конуса.

Решение:

Дано:

• Площадь осевого сечения \( S_{ос} = 20 \) см².
• Высота конуса \( h = 2 \) см.

Площадь осевого сечения конуса равна \( S_{ос} = r \cdot h \).

1. Найдем радиус основания конуса \( r \):

$$ r = \frac{S_{ос}}{h} = \frac{20 \text{ см}^2}{2 \text{ см}} = 10 \text{ см} $$

2. Найдем образующую конуса \( l \) по теореме Пифагора:

$$ l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{(10 \text{ см})^2 + (2 \text{ см})^2} = \sqrt{100 + 4} = \sqrt{104} = 2\sqrt{26} \text{ см} $$

3. Вычислим площадь полной поверхности конуса \( S \):

$$ S = \pi r(r + l) = \pi \cdot 10 \text{ см} (10 \text{ см} + 2\sqrt{26} \text{ см}) = 20\pi (5 + \sqrt{26}) \text{ см}^2 $$

4. Вычислим объем конуса \( V \):

$$ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (10 \text{ см})^2 (2 \text{ см}) = \frac{1}{3} \pi \cdot 100 2 = \frac{200\pi}{3} \text{ см}^3 $$

Ответ: Площадь полной поверхности равна \( 20\pi (5 + \sqrt{26}) \) см², объем конуса равен \( \frac{200\pi}{3} \) см³.