Краткое пояснение:
Частица таки пишется через дефис после глаголов, наречий и местоимений, если она имеет значение всё же, несмотря ни на что.
Пошаговое решение:
- 1) Родители (таки) разрешили мне участие в экспедиции на байдарках! - Здесь таки имеет значение всё же, несмотря ни на что, и относится к глаголу разрешили. Пишется через дефис.
- 2) Неужели всё (таки) придётся переделывать эту работу? - Здесь таки имеет значение всё же, несмотря ни на что, и относится к наречию всё. Пишется через дефис.
Ответ: 1, 2