5. Определите предложение, в котором НЕ с выделенным словом пишется СЛИТНО. Раскройте скобки и выпишите это слово. От соседа они услышали вовсе (НЕ)ИСКРЕННИЕ слова. И похудел я не только из-за тоски по дому: я ещё постоянно (НЕ)ДОЕДАЛ. Есть много видов грубости, (НЕ)ЗАМЕЧАЕМЫХ нами. Последние слова застенчивого пассажира прозвучали (НЕ)ДОБРО ДУШНО, как он хотел, а насмешливо. В школу привезли (НЕ) ТОЛЬКО новые учебники, но и отремонтированные ком-пьютеры.

Решение:

Правило написания НЕ с разными частями речи:

• Слитное написание НЕ:
  - с существительными, если слово без НЕ не употребляется (негодовать), или если образуется новое понятие (неправда);
  - с прилагательными и причастиями, если они не имеют противопоставления с союзом а и не усиливаются словами вовсе не, отнюдь не, далеко не (неисправный);
  - с наречиями на -о, если образуется новое понятие (неплохо).
  - с глаголами, если слово без НЕ не употребляется (ненавидеть), или если слово образует новое понятие с помощью приставки недо- (недоедать).
  
• Раздельное написание НЕ:
  - с глаголами и деепричастиями, кроме случаев, когда слово без НЕ не употребляется (не знаю, не мог);
  - с краткими прилагательными (не рад);
  - с полными причастиями при наличии противопоставления с союзом а или слов вовсе не, отнюдь не, далеко не (не прочитанная, а написанная; вовсе не интересный).
  
• НЕ ТОЛЬКО... НО И — это союз, он пишется раздельно.

Рассмотрим предложения:

1. От соседа они услышали вовсе (НЕ)ИСКРЕННИЕ слова. — Слово искренние имеет противопоставление с союзом а (искренние, а не фальшивые). Пишется раздельно: не искренние.
2. И похудел я не только из-за тоски по дому: я ещё постоянно (НЕ)ДОЕДАЛ. — Здесь приставка недо-, которая обозначает неполноту действия. Пишется слитно: недоедал.
3. Есть много видов грубости, (НЕ)ЗАМЕЧАЕМЫХ нами. — Это полное причастие, перед которым есть слово много (не усиливает отрицание). Пишется раздельно: не замечаемых.
4. Последние слова застенчивого пассажира прозвучали (НЕ)ДОБРО ДУШНО, как он хотел, а насмешливо. — Здесь недобродушно — наречие, образованное от прилагательного. Есть противопоставление с союзом а (недобродушно, а насмешливо). Пишется раздельно: не добродушно.
5. В школу привезли (НЕ) ТОЛЬКО новые учебники, но и отремонтированные ком-пьютеры. — Не только... но и — это союз. Пишется раздельно: не только.

Слово, которое пишется слитно, — недоедал.

Ответ: недоедал