5. Определить расстояние между 20 и 21 светлыми кольцами Ньютона. Если между 2 и 1 светлыми кольцами расстояние равно 1 мм. Кольца наблюдаются в отраженном свете.

Решение:

Расстояние между соседними светлыми кольцами в опыте Ньютона определяется формулой:

\( \Delta r = r_{n+1} - r_n = \frac{\lambda R}{2} \frac{1}{n+1} - \frac{\lambda R}{2} \frac{1}{n} = \frac{\lambda R}{2} \left( \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n} \right) = \frac{\lambda R}{2} \left( \frac{n - (n+1)}{n(n+1)} \right) = -\frac{\lambda R}{2n(n+1)} \)

Однако, на практике, расстояние между соседними кольцами считается примерно постоянным для не слишком больших номеров колец и приближенно равно:

\( \Delta r \approx \frac{\lambda R}{2n^2} \) или \( \Delta r \approx \frac{\lambda R}{2(n+1)^2} \)

Чаще используют формулу для радиусов светлых колец в отраженном свете:

\( r_n = \sqrt{\frac{\lambda R n}{1}} \) где \( n = 1, 2, 3, ... \) для тонкого клина.

Для данной задачи, более корректной будет формула, учитывающая, что кольца являются окружностями:

\( r_n = \sqrt{R \lambda n} \)

Тогда расстояние между двумя соседними кольцами \( n \) и \( n+1 \) равно:

\( \Delta r = r_{n+1} - r_n = \sqrt{R \lambda (n+1)} - \sqrt{R \lambda n} = \sqrt{R \lambda} (\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) \)

В условии сказано, что расстояние между 2-м и 1-м кольцами равно 1 мм. Это значит:

\( r_2 - r_1 = 1 \text{ мм} \)

\( \sqrt{R \lambda \cdot 2} - \sqrt{R \lambda \cdot 1} = 1 \text{ мм} \)

\( \sqrt{R \lambda} (\sqrt{2} - 1) = 1 \text{ мм} \)

Отсюда:

\( \sqrt{R \lambda} = \frac{1 \text{ мм}}{\sqrt{2} - 1} = \frac{1 \text{ мм}}{1.414 - 1} = \frac{1 \text{ мм}}{0.414} \approx 2.415 \text{ мм} \)

Нам нужно найти расстояние между 20-м и 21-м кольцами:

\( \Delta r = r_{21} - r_{20} = \sqrt{R \lambda \cdot 21} - \sqrt{R \lambda \cdot 20} \)

\( \Delta r = \sqrt{R \lambda} (\sqrt{21} - \sqrt{20}) \)

Подставляем найденное значение \( \sqrt{R \lambda} \):

\( \Delta r = 2.415 \text{ мм} (\sqrt{21} - \sqrt{20}) \)

\( \sqrt{21} \approx 4.583 \)

\( \sqrt{20} \approx 4.472 \)

\( \Delta r \approx 2.415 \text{ мм} (4.583 - 4.472) \)

\( \Delta r \approx 2.415 \text{ мм} (0.111) \approx 0.268 \text{ мм} \)

Ответ: Расстояние между 20 и 21 светлыми кольцами примерно 0.268 мм.