5. Определи, во сколько раз увеличится площадь поверхности шара, если его радиус увеличится в 3 раза. 13. Вычисли, во сколько раз увеличится объем шара, если его радиус увеличится в 3 раза.

Решение:

1. Увеличение площади поверхности шара

Формула для площади поверхности шара: \( S = 4 \pi R^2 \).

1. Пусть \( R_1 \) — начальный радиус шара, а \( S_1 \) — его начальная площадь поверхности.
2. Тогда \( S_1 = 4 \pi R_1^2 \).
3. Пусть \( R_2 \) — новый радиус шара, а \( S_2 \) — его новая площадь поверхности.
4. По условию, \( R_2 = 3R_1 \).
5. Тогда \( S_2 = 4 \pi R_2^2 = 4 \pi (3R_1)^2 = 4 \pi (9R_1^2) = 9 \cdot (4 \pi R_1^2) = 9S_1 \).

Площадь поверхности шара увеличится в 9 раз.

2. Увеличение объема шара

Формула для объема шара: \( V = \frac{4}{3} \pi R^3 \).

1. Пусть \( R_1 \) — начальный радиус шара, а \( V_1 \) — его начальный объем.
2. Тогда \( V_1 = \frac{4}{3} \pi R_1^3 \).
3. Пусть \( R_2 \) — новый радиус шара, а \( V_2 \) — его новый объем.
4. По условию, \( R_2 = 3R_1 \).
5. Тогда \( V_2 = \frac{4}{3} \pi R_2^3 = \frac{4}{3} \pi (3R_1)^3 = \frac{4}{3} \pi (27R_1^3) = 27 \cdot \left( \frac{4}{3} \pi R_1^3 \right) = 27V_1 \).

Объем шара увеличится в 27 раз.

Ответ: Площадь поверхности увеличится в 9 раз, а объем — в 27 раз.