№ 5 Окружность с центром О вписана в окружность, так что точки М, К и точки касания. СМ=12,5 см, КВ=18,7 см, AF=14,3 см. Найти периметр треугольника.

Дано:

• Окружность с центром О вписана в △ ABC.
• Точки касания: M, K, F.
• CM = 12,5 см.
• KB = 18,7 см.
• AF = 14,3 см.

Найти: Периметр △ ABC.

Решение:

1. Свойства касательных, проведенных из одной точки к окружности:
2. Отрезки касательных от точки касания до внешней точки равны.
3. CM = CE = 12,5 см (где E - точка касания на стороне AC).
4. KB = BK' = 18,7 см (где K' - точка касания на стороне BC).
5. AF = AM = 14,3 см (где M - точка касания на стороне AB).
6. Ошибка: В условии даны точки касания M, K, F.
7. CM = 12,5 см.
8. KB = 18,7 см.
9. AF = 14,3 см.
10. Точки касания: M на AB, K на BC, F на AC.
11. Тогда:
12. AM = AF = 14,3 см.
13. BM = BK = 18,7 см.
14. CK = CF = 12,5 см.
15. Пересмотр условия: точки M, K и точки касания.
16. Предположим, что:
17. Точка M - касания на стороне AB.
18. Точка K - касания на стороне BC.
19. Точка F - касания на стороне AC.
20. Тогда:
21. AM = AF = 14,3 см.
22. BM = BK = 18,7 см.
23. CK = CF = 12,5 см.
24. Периметр △ ABC = AB + BC + AC.
25. AB = AM + MB = 14,3 + 18,7 = 33 см.
26. BC = BK + KC = 18,7 + 12,5 = 31,2 см.
27. AC = AF + FC = 14,3 + 12,5 = 26,8 см.
28. Периметр = 33 + 31,2 + 26,8 = 91 см.
29. Уточнение условия: 'точки М, К и точки касания'.
30. Возможно, M, K, F - это вершины треугольника, а точки касания - другие.
31. Но тогда задача нерешаема без дополнительной информации.
32. Самое вероятное толкование: M, K, F - точки касания.
33. Проверим еще раз условие: CM=12,5 см, КВ=18,7 см, AF=14,3 см.
34. Если C, M, K, F - точки касания, то это противоречие.
35. Будем считать, что C, M, K, F - это вершины или точки на сторонах, а окружность вписана.
36. Наиболее логичное толкование:
37. Пусть точки касания вписанной окружности:
38. на стороне AB - точка P.
39. на стороне BC - точка Q.
40. на стороне AC - точка R.
41. Тогда:
42. AP = AR.
43. BP = BQ.
44. CQ = CR.
45. Данные из условия:
46. CM = 12,5 см.
47. KB = 18,7 см.
48. AF = 14,3 см.
49. Предположим, что:
50. C - вершина. CM = 12,5 см.
51. B - вершина. KB = 18,7 см.
52. A - вершина. AF = 14,3 см.
53. И точки касания:
54. M - на стороне BC (или AB).
55. K - на стороне AB (или BC).
56. F - на стороне AC.
57. Если M, K, F - точки касания:
58. Из вершины C проведены касательные к окружности. Точки касания - F (на AC) и K (на BC).
59. CF = CK = 12,5 см.
60. Из вершины B проведены касательные. Точки касания - K (на BC) и M (на AB).
61. BK = BM = 18,7 см.
62. Из вершины A проведены касательные. Точки касания - M (на AB) и F (на AC).
63. AM = AF = 14,3 см.
64. Тогда:
65. AC = AF + FC = 14,3 + 12,5 = 26,8 см.
66. BC = BK + KC = 18,7 + 12,5 = 31,2 см.
67. AB = AM + MB = 14,3 + 18,7 = 33,0 см.
68. Периметр = AB + BC + AC = 33,0 + 31,2 + 26,8 = 91,0 см.
69. Символы в условии: CM, KB, AF.
70. Это отрезки от вершин до точек касания.
71. C - вершина, M - точка касания на стороне BC.
72. CM = 12,5.
73. B - вершина, K - точка касания на стороне BC.
74. BK = 18,7.
75. A - вершина, F - точка касания на стороне AC.
76. AF = 14,3.
77. Это означает, что:
78. CK = CM = 12,5.
79. BK = BK' = 18,7 (K' - другая точка касания от B).
80. AF = AF' = 14,3 (AF' - другая точка касания от A).
81. Наиболее вероятное:
82. C - вершина. Отрезки касательных от C равны: CF = CK = 12.5 см.
83. B - вершина. Отрезки касательных от B равны: BK = BM = 18.7 см.
84. A - вершина. Отрезки касательных от A равны: AM = AF = 14.3 см.
85. Тогда:
86. Стороны треугольника:
87. AC = AF + FC = 14,3 + 12,5 = 26,8 см.
88. BC = BK + KC = 18,7 + 12,5 = 31,2 см.
89. AB = AM + MB = 14,3 + 18,7 = 33,0 см.
90. Периметр △ ABC = AB + BC + AC = 33,0 + 31,2 + 26,8 = 91,0 см.

Ответ: 91