5. Около правильного многоугольника описана окружность, и в этот же многоугольник вписана еще одна окружность. Площадь кольца, ограниченного этими окружностями, равна 64π см². Найдите длину стороны многоугольника.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определяем радиусы окружностей. Площадь кольца равна \( S_{кольца} = π(R^2 - r^2) \), где R — радиус описанной окружности, а r — радиус вписанной окружности. По условию \( S_{кольца} = 64π \) см². Следовательно, \( R^2 - r^2 = 64 \).
2. Шаг 2: Связываем радиусы с многоугольником. Для правильного n-угольника радиус описанной окружности \( R = \frac{a}{2····· α} \) и радиус вписанной окружности \( r = \frac{a}{2····· α} \), где \( a \) — длина стороны, а \( α = ··· \) — угол. Для правильного многоугольника, \( R = rac{a}{2··· an(·····)} \) и \( r = rac{a}{2···} \). Точнее, \( R = rac{a}{2··· ···} \) и \( r = rac{a}{2} \). Для правильного многоугольника, радиус описанной окружности \( R = rac{a}{2 ··· ···} \), а радиус вписанной окружности \( r = rac{a}{2 ··· ···} \). Более конкретно, \( R = rac{a}{2 ···} \) и \( r = rac{a}{2} \).
   Для правильного многоугольника с $$n$$ сторонами, $$R = rac{a}{2 ··· ···}$$ и $$r = rac{a}{2 ··· ···}}$$.
   Здесь, \( R^2 - r^2 = (rac{a}{2 ··· ···}})^2 - (rac{a}{2 ··· ···}})^2 = 64 \).
3. Шаг 3: Находим сторону многоугольника.
   $$R^2 - r^2 = (rac{a}{2 ···}})^2 - (rac{a}{2 ···}})^2 = 64$$.
   $$a^2 (rac{1}{4···^2} - rac{1}{4···^2}) = 64$$.
   $$a^2 (rac{··· - ···}}{4···^2}) = 64$$.
   $$a^2 (rac{···}}{4···^2}) = 64$$.
   $$a^2 = rac{64 · 4 · ··^2}{···}} = 256 · ··^2$$.
   $$a = ···} · 16$$.
   Для правильного треугольника: \( R = rac{a}{···}} \), \( r = rac{a}{2···}} \).
   $$R^2 - r^2 = rac{a^2}{3} - rac{a^2}{12} = rac{4a^2 - a^2}{12} = rac{3a^2}{12} = rac{a^2}{4} = 64$$.
   $$a^2 = 256$$.
   $$a = 16$$ см.

Ответ: 16 см