5. Найти площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке.

Решение:

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции \( y = f(x) \), осью \( Ox \) и прямыми \( x=a \) и \( x=b \), вычисляется по формуле:

\[ S = \int_a^b f(x) dx \]

На рисунке изображена криволинейная трапеция, ограниченная графиком функции \( y = \frac{2}{x} \), осью \( Ox \) и прямыми \( x=1 \) и \( x=4 \).

Таким образом, площадь равна:

\[ S = \int_1^4 \frac{2}{x} dx \]

Вычислим интеграл:

\[ S = 2 \int_1^4 \frac{1}{x} dx = 2 \left[ \ln|x| \right]_1^4 = 2 \left( \ln(4) - \ln(1) \right) = 2 \left( \ln(4) - 0 \right) = 2 \ln(4) \]

Используя свойство логарифмов \( k \ln(a) = \ln(a^k) \), получим:

\[ S = \ln(4^2) = \ln(16) \]

Ответ: \( \ln(16) \).