5. Найти функцию, производная которой у'= 10x+6, если при х=4 эта функция принимает значение, равное 150.

Решение:

Если производная функции \( y'(x) = 10x+6 \), то сама функция \( y(x) \) является первообразной для \( y'(x) \).

1. Найдем первообразную, интегрируя \( y'(x) \):
   \( y(x) = \int (10x+6) dx = 10 \frac{x^2}{2} + 6x + C = 5x^2 + 6x + C \), где \( C \) — константа интегрирования.
2. По условию, при \( x=4 \) значение функции равно 150. Подставим эти значения в уравнение:
   \( 150 = 5(4)^2 + 6(4) + C \)
   \( 150 = 5(16) + 24 + C \)
   \( 150 = 80 + 24 + C \)
   \( 150 = 104 + C \)
3. Найдем значение \( C \):
   \( C = 150 - 104 = 46 \).
4. Таким образом, искомая функция:
   \( y(x) = 5x^2 + 6x + 46 \).

Ответ: \( y(x) = 5x^2 + 6x + 46 \).