5. Найдите значение производной функции f(x) = tg x - 2 sin x при x = -π/4.

Решение:

Для нахождения значения производной функции, сначала найдём саму производную:

\( f(x) = \operatorname{tg} x - 2 \sin x \)

Производная от \( \operatorname{tg} x \) равна \( \frac{1}{\cos^2 x} \).

Производная от \( -2 \sin x \) равна \( -2 \cos x \).

Таким образом, производная функции \( f'(x) \) равна:

\[ f'(x) = \frac{1}{\cos^2 x} - 2 \cos x \]

Теперь подставим значение \( x = -\frac{\pi}{4} \) в выражение для производной:

\( \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)

\( \cos^2\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)

Подставляем полученные значения в \( f'(x) \):

\[ f'\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\frac{1}{2}} - 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \]

\[ f'\left(-\frac{\pi}{4}\right) = 2 - \sqrt{2} \]

Ответ: \( 2 - \sqrt{2} \)