5. Найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции y = x³ - 12x.

Привет! Давай разберемся с этой задачкой по математике. Нам нужно найти, где функция растет или убывает, и где у нее есть «пики» или «впадины». Это называется промежутки монотонности и точки экстремума.

Что нужно сделать:

1. Найти производную функции. Она покажет нам, как быстро меняется функция.
2. Приравнять производную к нулю. Точки, где производная равна нулю, — это наши «кандидаты» на точки экстремума.
3. Определить знаки производной на интервалах между этими точками.
4. Сделать выводы о возрастании/убывании функции и найти точки экстремума.

Давай считать!

Наша функция: y = x³ - 12x

1. Находим производную:

   Производная от x³ — это 3x².

   Производная от -12x — это -12.

   Итого, производная y' = 3x² - 12.

2. Приравниваем производную к нулю:

   3x² - 12 = 0

   3x² = 12

   x² = 4

   Отсюда получаем два значения x:

   x₁ = -2

   x₂ = 2

   Эти точки делят числовую прямую на три интервала: (-∞; -2), (-2; 2) и (2; +∞).

3. Определяем знаки производной:

   Возьмем тестовые точки из каждого интервала:

   • Интервал (-∞; -2): Возьмем x = -3. Тогда y'(-3) = 3*(-3)² - 12 = 3*9 - 12 = 27 - 12 = 15. Производная положительна (+), значит, функция возрастает.
   • Интервал (-2; 2): Возьмем x = 0. Тогда y'(0) = 3*(0)² - 12 = -12. Производная отрицательна (-), значит, функция убывает.
   • Интервал (2; +∞): Возьмем x = 3. Тогда y'(3) = 3*(3)² - 12 = 3*9 - 12 = 27 - 12 = 15. Производная положительна (+), значит, функция возрастает.
4. Делаем выводы:
   • Промежутки монотонности:
     • Функция возрастает на интервалах (-∞; -2] и [2; +∞).
     • Функция убывает на интервале [-2; 2].
   • Точки экстремума:
     • В точке x = -2 производная меняет знак с «+» на «-», значит, это точка минимума. Найдем значение y: y(-2) = (-2)³ - 12*(-2) = -8 + 24 = 16. Точка минимума: (-2; 16).
     • В точке x = 2 производная меняет знак с «-» на «+», значит, это точка максимума. Найдем значение y: y(2) = (2)³ - 12*(2) = 8 - 24 = -16. Точка максимума: (2; -16).

Итого:

• Промежутки возрастания: (-∞; -2] и [2; +∞).
• Промежуток убывания: [-2; 2].
• Точка минимума: (-2; 16).
• Точка максимума: (2; -16).

Надеюсь, теперь все стало понятнее! Если будут еще вопросы, обращайся!