5. Найдите площадь полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды, стороны основания которой 12, a высота равна 8.

Решение:

Чтобы найти площадь полной поверхности пирамиды, нужно сложить площадь основания и площадь боковой поверхности. Формула полной поверхности пирамиды: \( S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} \).

1. Находим площадь основания:

Основание пирамиды — квадрат со стороной \( a = 12 \). Площадь квадрата вычисляется по формуле \( S_{осн} = a^2 \).

\[ S_{осн} = 12^2 = 144 \)

2. Находим площадь боковой поверхности:

Боковая поверхность правильной четырехугольной пирамиды состоит из четырёх равных треугольников. Площадь боковой поверхности равна \( S_{бок} = P_{осн} \cdot h_a / 2 \), где \( P_{осн} \) — периметр основания, \( h_a \) — апофема (высота боковой грани).

Сначала найдём апофему. Апофема, высота пирамиды и половина стороны основания образуют прямоугольный треугольник. Апофема \( h_a \) — это гипотенуза, высота пирамиды \( h = 8 \) — один катет, а половина стороны основания \( a/2 = 12/2 = 6 \) — другой катет.

По теореме Пифагора:

\[ h_a^2 = h^2 + (a/2)^2 \]

\[ h_a^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100 \]

\[ h_a = \(\sqrt{100}\) = 10 \)

Теперь найдём площадь боковой поверхности:

Периметр основания \( P_{осн} = 4 \u0007 a = 4 \u0007 12 = 48 \).

\[ S_{бок} = \(\frac{1}{2}\) \(\u\)0007 P_{осн} \(\u\)0007 h_a = \(\frac{1}{2}\) \(\u\)0007 48 \(\u\)0007 10 = 24 \(\u\)0007 10 = 240 \)

3. Находим площадь полной поверхности:

\[ S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 144 + 240 = 384 \)

Ответ: 384.