5. Найдите множество решений неравенства: \(\frac{\frac{2x}{5} + \frac{x+4}{10}}{\frac{x-1}{15}} \ge 0;\)

Решение:

Для решения этого неравенства сначала упростим числитель дроби:

1. Упрощаем числитель:
   \[ \frac{2x}{5} + \frac{x+4}{10} = \frac{2 \cdot 2x}{10} + \frac{x+4}{10} = \frac{4x + x + 4}{10} = \frac{5x+4}{10} \]
2. Подставляем упрощенный числитель обратно в неравенство:
   \[ \frac{\frac{5x+4}{10}}{\frac{x-1}{15}} \ge 0 \]
3. Деление дробей: Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на обратную ко второй:
   \[ \frac{5x+4}{10} \cdot \frac{15}{x-1} \ge 0 \]
4. Сокращаем и упрощаем:
   \[ \frac{(5x+4) \cdot 3}{2 \cdot (x-1)} \ge 0 \]
   \[ \frac{15x+12}{2(x-1)} \ge 0 \]
5. Находим корни числителя и знаменателя:
   Числитель: \[ 15x+12 = 0 \Rightarrow 15x = -12 \Rightarrow x = -\frac{12}{15} = -\frac{4}{5} \]
   Знаменатель: \( x-1 = 0 \Rightarrow x = 1 \)
6. Метод интервалов: Наносим корни на числовую прямую и определяем знаки выражения. Помним, что знаменатель не может быть равен нулю, поэтому точка x=1 будет «выколотой».
   Числовая прямая разбивается на три интервала: (-∞; -4/5], [-4/5; 1), (1; +∞).
   Тестируем знаки:
   - Для x < -4/5 (например, x = -1): (15(-1)+12)/(2(-1-1)) = (-3)/(-4) = +
   - Для -4/5 ≤ x < 1 (например, x = 0): (15(0)+12)/(2(0-1)) = 12/(-2) = -
   - Для x > 1 (например, x = 2): (15(2)+12)/(2(2-1)) = (30+12)/2 = 42/2 = +
7. Выбираем интервалы, где выражение ≥ 0:
   Это интервалы (-∞; -4/5] и (1; +∞).

Ответ: \[ x \in \left( -\infty; -\frac{4}{5} \right] \cup (1; +\infty) \]