5. Намерете лицето на равнобедрен триъгълник с основа 14 и синус на ъгъла при основата 3/4.

Решение:

Задача: Намерете лицето на равнобедрен триъгълник с основа \( a = 14 \) и синус на ъгъла при основата \( \sin \alpha = \frac{3}{4} \).

1. Формула за лице на триъгълник: \( S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma \). В нашия случай, тъй като синусът е при основата, можем да използваме формулата \( S = \frac{1}{2} a h \), където \( h \) е височината към основата.
2. Намиране на височината: Височината към основата на равнобедрен триъгълник разполовява основата и образува правоъгълен триъгълник с една от бедрата и височината. Синусът на ъгъла при основата \( \alpha \) е равен на отношението на височината \( h \) към бедрото \( b \): \( \sin \alpha = \frac{h}{b} \).
3. Връзка между основа, бедро и ъгъл: От косинусовата теорема за триъгълник имаме \( b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos \beta \). Но можем да използваме и факта, че \( \cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - (\frac{3}{4})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4} \).
4. Изчисляване на бедрото: В правоъгълния триъгълник, образуван от височината, половината основа и бедрото, имаме \( \cos \alpha = \frac{a/2}{b} \). Следователно, \( b = \frac{a/2}{\cos \alpha} = \frac{14/2}{\frac{\sqrt{7}}{4}} = \frac{7}{\frac{\sqrt{7}}{4}} = \frac{7 \cdot 4}{\sqrt{7}} = \frac{28}{\sqrt{7}} = \frac{28\sqrt{7}}{7} = 4\sqrt{7} \).
5. Изчисляване на височината: \( h = b \sin \alpha = 4\sqrt{7} \cdot \frac{3}{4} = 3\sqrt{7} \).
6. Изчисляване на лицето: \( S = \frac{1}{2} a h = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 3\sqrt{7} = 7 \cdot 3\sqrt{7} = 21\sqrt{7} \).

Ответ: Лицето на триъгълника е \( 21\sqrt{7} \).