5. На рисунке точка K является серединой отрезка AD и ВС. Докажите, что прямые АВ и CD параллельны.

Задание 5

Дано:

• Точка K — середина отрезка AD.
• Точка K — середина отрезка BC.

Доказать: AB || CD

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники ΔABK и ΔDCK.
2. По условию, K — середина AD, значит, AK = KD.
3. По условию, K — середина BC, значит, BK = KC.
4. Углы ∠AKB и ∠DKC являются вертикальными, а значит, равны: ∠AKB = ∠DKC.
5. По двум сторонам и углу между ними (признак равенства треугольников), треугольники ΔABK и ΔDCK равны (по первому признаку равенства треугольников: AK=KD, BK=KC, ∠AKB=∠DKC).
6. Из равенства треугольников следует, что соответствующие углы равны. В частности, ∠BAK = ∠CDK.
7. Углы ∠BAK и ∠CDK являются накрест лежащими при пересечении прямых AB и CD секущей AD.
8. Поскольку накрест лежащие углы равны, то прямые AB и CD параллельны.

Что и требовалось доказать.