5. На координатной плоскости построены точки (1;2) и (4;-1). Эти точки являются вершинами квадрата. Укажите координаты двух других вершин квадрата. Рассмотрите все возможные случаи. Сделайте соответствующий чертеж.

Решение:

Пусть данные точки — это вершины квадрата. Обозначим их A(1;2) и B(4;-1). Найдем длину стороны квадрата, которая равна расстоянию между точками A и B.

1. Находим длину стороны квадрата (AB):

Используем формулу расстояния между двумя точками \( d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \).

\[ AB = \sqrt{(4-1)^2 + (-1-2)^2} = \sqrt{3^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \]

Длина стороны квадрата равна \( 3\sqrt{2} \).

2. Рассматриваем возможные случаи для других вершин (C и D).

Случай 1: AB — одна из сторон квадрата.

В этом случае нам нужно найти точки C и D такие, что AC перпендикулярно AB и равно AB, а также BD перпендикулярно AB и равно AB, и CD параллельно AB.

Вектор AB = (4-1, -1-2) = (3, -3).

Вектор, перпендикулярный AB и равный по длине, может быть (3, 3) или (-3, -3).

Вариант 1.1: Вектор AC = (3, 3).

Точка C = A + (3, 3) = (1+3, 2+3) = (4, 5).

Точка D = B + (3, 3) = (4+3, -1+3) = (7, 2).

Проверка: Вектор CD = (7-4, 2-5) = (3, -3), что равно вектору AB. Расстояние AD = \( \sqrt{(7-1)^2 + (2-2)^2} = \sqrt{6^2} = 6 \). Это не сторона квадрата. Значит, этот вариант неверен.

Правильный подход для случая 1:

Вектор AC перпендикулярен AB и имеет ту же длину. Возможны два вектора:

• Вектор AC₁ = (3, 3) (получен поворотом вектора AB на 90° против часовой стрелки и изменением длины, но здесь мы просто берем перпендикулярный вектор той же длины).
• Вектор AC₂ = (-3, -3) (получен поворотом вектора AB на 90° по часовой стрелке).

Если AC₁ = (3, 3):

Точка C₁ = A + (3, 3) = (1+3, 2+3) = (4, 5).

Точка D₁ = B + (3, 3) = (4+3, -1+3) = (7, 2).

Проверим, что C₁D₁ параллелен AB. Вектор C₁D₁ = (7-4, 2-5) = (3, -3). Это совпадает с вектором AB. Таким образом, вершины C₁(4; 5) и D₁(7; 2) являются возможным вариантом.

Если AC₂ = (-3, -3):

Точка C₂ = A + (-3, -3) = (1-3, 2-3) = (-2, -1).

Точка D₂ = B + (-3, -3) = (4-3, -1-3) = (1, -4).

Проверим, что C₂D₂ параллелен AB. Вектор C₂D₂ = (1-(-2), -4-(-1)) = (3, -3). Это совпадает с вектором AB. Таким образом, вершины C₂(-2; -1) и D₂(1; -4) являются другим возможным вариантом.

Случай 2: AB — диагональ квадрата.

В этом случае длина диагонали равна \( 3\sqrt{2} \). Длина стороны квадрата \( a \) связана с диагональю \( d \) соотношением \( d = a\sqrt{2} \).

\( 3\sqrt{2} = a\sqrt{2} \) => \( a = 3 \).

Тогда длина стороны квадрата равна 3. Расстояние AB = \( 3\sqrt{2} \), что не равно 3. Следовательно, AB не может быть диагональю.

Итого, два возможных набора координат для других вершин:

• Вариант 1: C₁(4; 5) и D₁(7; 2).
• Вариант 2: C₂(-2; -1) и D₂(1; -4).

Чертеж:

Для чертежа необходимо нарисовать координатную плоскость, отметить точки A(1;2) и B(4;-1). Затем построить два квадрата:

1. Квадрат с вершинами A(1;2), B(4;-1), C₁(4;5), D₁(7;2).
2. Квадрат с вершинами A(1;2), B(4;-1), C₂(-2;-1), D₂(1;-4).