5. На четырёх карточках написаны числа 5, 6, 7 и 8. Какова вероятность того, что сумма чисел, записанных на двух наугад выбранных карточках, будет нечётным числом?

Решение:

Всего имеется 4 карточки с числами: 5, 6, 7, 8.

Число чётных чисел: 2 (6, 8).

Число нечётных чисел: 2 (5, 7).

Чтобы сумма двух чисел была нечётной, нужно, чтобы одно из чисел было чётным, а другое — нечётным. Рассмотрим возможные варианты выбора двух карточек:

1. Всего способов выбрать 2 карточки из 4: Это сочетание \( C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6 \).
2. Способы получить нечётную сумму:
• Выбрать одну чётную карточку и одну нечётную карточку.
• Количество способов выбрать одну чётную карточку из двух: \( C_2^1 = 2 \).
• Количество способов выбрать одну нечётную карточку из двух: \( C_2^1 = 2 \).
• Общее количество способов выбрать одну чётную и одну нечётную карточку: \( 2 \cdot 2 = 4 \).

Вероятность = (Количество благоприятных исходов) / (Общее количество исходов)

Вероятность = \( \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \).

Ответ: \( \frac{2}{3} \)