5. Лиса и два медвежонка делят 2026 конфет. Лиса раскладывает конфеты на три кучки; кому какая достанется определяет жребий. Лиса знает, что если медвежатам достанется разное количество конфет, то они попросят её уравнять их кучки, и тогда она заберёт излишек себе. После этого все едят доставшиеся им конфеты. Может ли Лиса сделать так, чтобы в итоге съесть ровно 1165 конфет?

Решение:

Задача заключается в том, может ли Лиса распределить 2026 конфет таким образом, чтобы после уравнивания кучек и получения излишка себе, она съела ровно 1165 конфет.

Пусть \(n_1\), \(n_2\), \(n_3\) — количество конфет в трех кучках, которые разложила Лиса. Тогда \(n_1 + n_2 + n_3 = 2026\).

Если медвежатам достанется разное количество конфет, они попросят Лису уравнять кучки. Это означает, что Лиса должна сделать количество конфет в каждой кучке равным максимальному из \(n_1, n_2, n_3\), а разницу забрать себе. Пусть \(n_{max} = \max(n_1, n_2, n_3)\). Тогда Лиса заберет \(3 \cdot n_{max} - (n_1 + n_2 + n_3)\) конфет себе.

Сумма конфет, которые съедят Лиса и медвежата, равна \(3 \cdot n_{max}\).

По условию, Лиса хочет съесть ровно 1165 конфет. Это означает, что \(3 \cdot n_{max} = 1165\).

Проверим, делится ли 1165 на 3:

\(1165 \div 3 = 388.33...\)

Так как 1165 не делится на 3 без остатка, невозможно получить ровно 1165 конфет, если они должны быть разделены на 3 равные части. Это значит, что не существует такого \(n_{max}\), при котором общая сумма конфет, съеденных всеми, составит 1165.

Таким образом, Лиса не может сделать так, чтобы в итоге съесть ровно 1165 конфет.

Ответ: Нет, не может.