5. Компания обслуживает 5 серверов. Вероятность отключения одного сервера в течение дня равна \( \frac{1}{5} \). Во сколько раз вероятность события «в течение дня ровно один сервер потребуют ремонта» больше, чем вероятность события «в течение дня ровно 3 сервера потребуют ремонта».

Решение:

Обозначим:

• \( n = 5 \) — количество серверов.
• \( p = \frac{1}{5} \) — вероятность отключения одного сервера в течение дня.
• \( q = 1 - p = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5} \) — вероятность того, что сервер не отключится в течение дня.

Используем формулу Бернулли для расчета вероятности:

\( P_k = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} \), где \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) — число сочетаний.

1. Вероятность того, что ровно 1 сервер потребует ремонта:

\( k = 1 \)

\( C_5^1 = \frac{5!}{1!(5-1)!} = \frac{5!}{1!4!} = 5 \)

\( P_1 = C_5^1 \cdot p^1 \cdot q^{5-1} = 5 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^1 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^4 = 5 \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{256}{625} = \frac{256}{625} \)

2. Вероятность того, что ровно 3 сервера потребуют ремонта:

\( k = 3 \)

\( C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \)

\( P_3 = C_5^3 \cdot p^3 \cdot q^{5-3} = 10 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^3 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 10 \cdot \frac{1}{125} \cdot \frac{16}{25} = \frac{160}{3125} \)

3. Во сколько раз вероятность события «ровно 1 сервер» больше, чем вероятность события «ровно 3 сервера»?

Найдем отношение \( \frac{P_1}{P_3} \):

\( \frac{P_1}{P_3} = \frac{\frac{256}{625}}{\frac{160}{3125}} = \frac{256}{625} \times \frac{3125}{160} = \frac{256}{1} \times \frac{5}{160} = \frac{256 \times 5}{160} = \frac{1280}{160} = 8 \)

Ответ: Вероятность события «в течение дня ровно один сервер потребуют ремонта» в 8 раз больше, чем вероятность события «в течение дня ровно 3 сервера потребуют ремонта».