5. Компания обслуживает 5 серверов. Вероятность отключения одного сер- вера в течение дня равна 1 5 . Во сколько раз вероятность события «в течение дня ровно один сервер потребуют ремонта» больше, чем вероятность события «в течение дня ровно 3 сервера потребуют ремонта».

Решение:

Обозначим:

• \( p \) — вероятность отключения одного сервера за день, \( p = \frac{1}{5} \).
• \( q \) — вероятность того, что сервер не отключится за день, \( q = 1 - p = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5} \).
• \( n \) — общее количество серверов, \( n = 5 \).

Используем формулу Бернулли для вычисления вероятности того, что ровно \( k \) серверов потребуют ремонта (отключатся) из \( n \) серверов:

\( P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} \), где \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \).

1. Вероятность того, что ровно 1 сервер потребует ремонта:

\( P(X=1) = C_5^1 \cdot (\frac{1}{5})^1 \cdot (\frac{4}{5})^{5-1} = 5 \cdot \frac{1}{5} \cdot (\frac{4}{5})^4 = 1 \cdot \frac{256}{625} = \frac{256}{625} \)

2. Вероятность того, что ровно 3 сервера потребуют ремонта:

\( P(X=3) = C_5^3 \cdot (\frac{1}{5})^3 \cdot (\frac{4}{5})^{5-3} = \frac{5!}{3!2!} \cdot (\frac{1}{125}) \cdot (\frac{4}{5})^2 = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} \cdot \frac{1}{125} \cdot \frac{16}{25} = 10 \cdot \frac{16}{3125} = \frac{160}{3125} \)

3. Во сколько раз вероятность события «в течение дня ровно один сервер потребуют ремонта» больше, чем вероятность события «в течение дня ровно 3 сервера потребуют ремонта»:

\( \frac{P(X=1)}{P(X=3)} = \frac{\frac{256}{625}}{\frac{160}{3125}} = \frac{256}{625} \cdot \frac{3125}{160} = \frac{256}{1} \cdot \frac{5}{160} = \frac{256 \cdot 5}{160} = \frac{1280}{160} = 8 \)

Ответ: Вероятность события «в течение дня ровно один сервер потребуют ремонта» больше, чем вероятность события «в течение дня ровно 3 сервера потребуют ремонта», в 8 раз.