5 км/ч. 2.8 Баржа прошла по течению реки 84 км и, повернув обратно, прошла ещё 66 км, затратив на весь путь 10 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Решение задачи:

Давай разберемся с этой задачей по шагам!

1. Обозначим переменные:
   Пусть v — собственная скорость баржи (то, что нам нужно найти), а u — скорость течения реки. Нам известно, что u = 5 км/ч.
2. Скорость по течению и против течения:
   Когда баржа плывет по течению, ее скорость равна сумме ее собственной скорости и скорости течения: v + u. Когда баржа плывет против течения, ее скорость равна разности ее собственной скорости и скорости течения: v - u.
3. Время в пути:
   Время, затраченное на путь по течению, равно расстоянию, деленному на скорость по течению: t_по = \(\frac{84}{v+u}\). Время, затраченное на путь против течения, равно расстоянию, деленному на скорость против течения: t_против = \(\frac{66}{v-u}\).
4. Общее время:
   Мы знаем, что общее время в пути составило 10 часов. Значит: t_по + t_против = 10.
   Подставим наши выражения для времени:
   \[ \frac{84}{v+u} + \frac{66}{v-u} = 10 \]
5. Подставим известное значение скорости течения:
   u = 5 км/ч.
   \[ \frac{84}{v+5} + \frac{66}{v-5} = 10 \]
6. Решим уравнение:
   Чтобы решить это уравнение, приведем дроби к общему знаменателю ((v+5)(v-5)):
   \[ \frac{84(v-5) + 66(v+5)}{(v+5)(v-5)} = 10 \]
   Раскроем скобки в числителе:
   \[ \frac{84v - 420 + 66v + 330}{v^2 - 25} = 10 \]
   Упростим числитель:
   \[ \frac{150v - 90}{v^2 - 25} = 10 \]
   Теперь умножим обе стороны на (v^2 - 25) \(при условии, что v
eq 5 и v
eq -5, что очевидно, так как скорость не может быть равна скорости течения или отрицательной\):
   \[ 150v - 90 = 10(v^2 - 25) \]
   Раскроем скобки:
   \[ 150v - 90 = 10v^2 - 250 \]
   Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
   \[ 10v^2 - 150v - 250 + 90 = 0 \]
   \[ 10v^2 - 150v - 160 = 0 \]
   Разделим все на 10 для упрощения:
   \[ v^2 - 15v - 16 = 0 \]
7. Найдем корни квадратного уравнения:
   Используем теорему Виета или дискриминант. По теореме Виета, сумма корней равна 15, а произведение — -16. Легко подобрать корни: 16 и -1.
   v_1 = 16
v_2 = -1
8. Выберем правильный корень:
   Скорость баржи не может быть отрицательной, поэтому v = 16 км/ч.

Проверка:
Время по течению: \(\frac{84}{16+5}\) = \(\frac{84}{21}\) = 4 часа.
Время против течения: \(\frac{66}{16-5}\) = \(\frac{66}{11}\) = 6 часов.
Общее время: 4 + 6 = 10 часов. Все сходится!

Ответ: 16 км/ч.