5. Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3: 4, гипотенуза равна 20 см. Найдите площадь этого треугольника.

Задание 5. Прямоугольный треугольник

Дано:

• Отношение катетов: \( 3:4 \)
• Гипотенуза: \( c = 20 \) см.

Найти: площадь \( S \) этого треугольника.

Решение:

1. Пусть катеты прямоугольного треугольника равны \( 3x \) и \( 4x \), где \( x \) — некоторое число.
2. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника: \( (3x)^2 + (4x)^2 = c^2 \)
3. Подставим значение гипотенузы: \( (3x)^2 + (4x)^2 = 20^2 \)
4. \( 9x^2 + 16x^2 = 400 \)
5. \( 25x^2 = 400 \)
6. Найдем \( x^2 \): \( x^2 = \frac{400}{25} = 16 \)
7. Найдем \( x \): \( x = \sqrt{16} = 4 \).
8. Теперь найдем длины катетов:
9. Первый катет: \( 3x = 3 \cdot 4 = 12 \) см.
10. Второй катет: \( 4x = 4 \cdot 4 = 16 \) см.
11. Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: \( S = \frac{1}{2} \cdot \text{катет}_1 \cdot \text{катет}_2 \)
12. Подставим длины катетов: \( S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 6 \cdot 16 = 96 \) см².

Ответ: площадь треугольника равна 96 см².