5. Какой многочлен надо записать вместо значка *, чтобы получившееся равенство было тождеством: 1) (x + 1) * * = x² + 3x + 2; 2) (x² + 3x + 2) * * = x³ + 4x² + 5x + 2?

5. Нахождение многочлена для тождества:

1. \( (x + 1) * * = x^2 + 3x + 2 \)
   Чтобы найти неизвестный множитель, разделим правую часть на известный множитель \( (x+1) \).
   Разложим \( x^2 + 3x + 2 \) на множители. Можно найти корни уравнения \( x^2 + 3x + 2 = 0 \): \( x_1 = -1 \) и \( x_2 = -2 \).
   Значит, \( x^2 + 3x + 2 = (x - (-1))(x - (-2)) = (x + 1)(x + 2) \>.
   Тогда \( (x + 1) * * = (x + 1)(x + 2) \>.
   Следовательно, вместо \( * \) нужно записать \( x + 2 \>.
2. \( (x^2 + 3x + 2) * * = x^3 + 4x^2 + 5x + 2 \)
   Разделим \( x^3 + 4x^2 + 5x + 2 \) на \( x^2 + 3x + 2 \>.
   Можно провести деление многочленов столбиком или разложить на множители.
   Из предыдущего пункта мы знаем, что \( x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2) \>.
   Разложим \( x^3 + 4x^2 + 5x + 2 \) на множители. Можно попробовать подставить \( x = -1 \) или \( x = -2 \>.
   При \( x = -1 \): \( (-1)^3 + 4(-1)^2 + 5(-1) + 2 = -1 + 4 - 5 + 2 = 0 \>.
   Значит, \( (x+1) \) является множителем. Выполним деление или группировку:
   \( x^3 + x^2 + 3x^2 + 3x + 2x + 2 = x^2(x+1) + 3x(x+1) + 2(x+1) = (x+1)(x^2 + 3x + 2) \>.
   Таким образом, \( x^3 + 4x^2 + 5x + 2 = (x+1)(x^2+3x+2) \>.
   Тогда \( (x^2 + 3x + 2) * * = (x+1)(x^2+3x+2) \>.
   Следовательно, вместо \( * \) нужно записать \( x + 1 \>.

Ответ: 1) \( x + 2 \); 2) \( x + 1 \>.