5. Из посёлка на станцию, расстояние между которыми 32 км, выехал велосипедист. Через 0,5 ч навстречу ему со станции выехал мотоциклист и встретил велосипедиста через 0,5 ч после своего выезда. Известно, что скорость мотоциклиста на 28 км/ч больше скорости велосипедиста. Найдите скорость каждого из них.

Решение:

Пусть \( v_в \) — скорость велосипедиста (км/ч), а \( v_м \) — скорость мотоциклиста (км/ч).

Из условия известно, что \( v_м = v_в + 28 \).

Расстояние между посёлком и станцией — 32 км.

Велосипедист ехал 0,5 ч до выезда мотоциклиста. За это время он проехал:

\( S_в1 = v_в × 0.5 \) км.

После выезда мотоциклиста они встретились через 0,5 ч. За это время велосипедист проехал ещё:

\( S_в2 = v_в × 0.5 \) км.

Мотоциклист ехал 0,5 ч до встречи и проехал:

\( S_м = v_м × 0.5 \) км.

Общее расстояние, которое проехали велосипедист и мотоциклист до встречи, равно расстоянию между посёлком и станцией (32 км). Таким образом:

\( S_в1 + S_в2 + S_м = 32 \)

\( v_в × 0.5 + v_в × 0.5 + v_м × 0.5 = 32 \)

\( 0.5v_в + 0.5v_в + 0.5v_м = 32 \)

\( v_в + 0.5v_м = 32 \)

Теперь подставим \( v_м = v_в + 28 \) в это уравнение:

\( v_в + 0.5(v_в + 28) = 32 \)

\( v_в + 0.5v_в + 14 = 32 \)

\( 1.5v_в = 32 - 14 \)

\( 1.5v_в = 18 \)

\( v_в = \frac{18}{1.5} = \frac{180}{15} = 12 \) км/ч.

Теперь найдём скорость мотоциклиста:

\( v_м = v_в + 28 = 12 + 28 = 40 \) км/ч.

Проверим: Общее время движения велосипедиста до встречи — 0,5 ч + 0,5 ч = 1 ч. Расстояние, которое он проехал: \( 12 × 1 = 12 \) км. Время движения мотоциклиста — 0,5 ч. Расстояние, которое он проехал: \( 40 × 0.5 = 20 \) км. Общее расстояние: \( 12 + 20 = 32 \) км. Всё верно.

Ответ: Скорость велосипедиста — 12 км/ч, скорость мотоциклиста — 40 км/ч.