5. Хорда АВ равна 18 см. ОА и ОВ — радиусы окружности, причём угол АОВ = 90°. Найдите расстояние от точки О до хорды АВ.

Задание 5. Расстояние от центра окружности до хорды

Дано:

• Хорда \( AB = 18 \) см.
• \( OA \) и \( OB \) — радиусы окружности.
• Угол \( \angle AOB = 90^\circ \).

Найти: расстояние от точки \( O \) до хорды \( AB \) (высоту \( h \) в треугольнике \( AOB \) к стороне \( AB \)).

Решение:

1. Треугольник \( AOB \) является прямоугольным, так как \( \angle AOB = 90^\circ \).
2. \( OA \) и \( OB \) — радиусы, поэтому \( OA = OB \).
3. По теореме Пифагора в треугольнике \( AOB \): \[ AB^2 = OA^2 + OB^2 \]
4. Так как \( OA = OB \), обозначим радиус как \( R \): \[ 18^2 = R^2 + R^2 \] \( 324 = 2R^2 \) \( R^2 = 162 \) \( R = \sqrt{162} = 9\sqrt{2} \) см.
5. Площадь треугольника \( AOB \) можно найти двумя способами:
• Как прямоугольного треугольника: \( S = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot R \cdot R = \frac{1}{2} R^2 \)
• Как произвольного треугольника: \( S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h \), где \( h \) — высота, проведенная к стороне \( AB \).
6. Приравниваем площади: \[ \frac{1}{2} R^2 = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h \] \( R^2 = AB \cdot h \)
7. Подставляем известные значения: \( 162 = 18 \cdot h \)
8. Находим \( h \): \[ h = \(\frac{162}{18}\) = 9 \) см.

Ответ: 9 см.