5. Докажите, что верно равенство:

Решение:

(a+c)(a-c)-b(2a-b)-(a-b+c)(a-b-c) = 0

1. Раскроем первую скобку (разность квадратов): \( (a+c)(a-c) = a^2 - c^2 \).
2. Раскроем вторую скобку: \( -b(2a-b) = -2ab + b^2 \).
3. Раскроем третью скобку. Заметим, что \( (a-b+c)(a-b-c) \) — это разность квадратов, где \( (a-b) \) — первый элемент, а \( c \) — второй.
4. \( (a-b+c)(a-b-c) = ((a-b)+c)((a-b)-c) = (a-b)^2 - c^2 \).
5. Раскроем \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \).
6. Теперь подставим всё в исходное выражение:
• \( (a^2 - c^2) - (2ab - b^2) - ((a^2 - 2ab + b^2) - c^2) \)
• \( a^2 - c^2 - 2ab + b^2 - (a^2 - 2ab + b^2 - c^2) \)
• \( a^2 - c^2 - 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2 + c^2 \)
7. Сгруппируем и сократим подобные слагаемые:
• \( (a^2 - a^2) + (-c^2 + c^2) + (-2ab + 2ab) + (b^2 - b^2) \)
• \( 0 + 0 + 0 + 0 = 0 \)
8. Равенство доказано.

Ответ: равенство доказано.