Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
1). Найдите отношение количества теплоты, отданной чаем, к количеству теплоты, полученному водой.
Обозначим:
- \( m_{ч} \) — масса чая
- \( m_{в} \) — масса воды
- \( c \) — удельная теплоёмкость (одинакова для чая и воды)
- \( T_{ч, нач} = 100 \) °С — начальная температура чая
- \( T_{в, нач} = 15 \) °С — начальная температура воды
- \( T_{равн} = 75 \) °С — температура равновесия
Количество теплоты, отданное чаем \( Q_{отд} \), рассчитывается по формуле:
\[ Q_{отд} = c \cdot m_{ч} \cdot (T_{ч, нач} - T_{равн}) \]\[ Q_{отд} = c \cdot m_{ч} \cdot (100 \; - \; 75) = c \cdot m_{ч} \cdot 25 \]Количество теплоты, полученное водой \( Q_{пол} \), рассчитывается по формуле:
\[ Q_{пол} = c \cdot m_{в} \cdot (T_{равн} - T_{в, нач}) \]\[ Q_{пол} = c \cdot m_{в} \cdot (75 \; - \; 15) = c \cdot m_{в} \cdot 60 \]Отношение количества теплоты, отданной чаем, к количеству теплоты, полученному водой:
\[ \frac{Q_{отд}}{Q_{пол}} = \frac{c \cdot m_{ч} \cdot 25}{c \cdot m_{в} \cdot 60} = \frac{25 m_{ч}}{60 m_{в}} = \frac{5 m_{ч}}{12 m_{в}} \]Ответ 1): \( \frac{5 m_{ч}}{12 m_{в}} \)
2). Найдите отношение массы чая к массе воды.
Так как теплотой потерь можно пренебречь, то количество теплоты, отданное чаем, равно количеству теплоты, полученному водой:
\[ Q_{отд} = Q_{пол} \] \[ c \cdot m_{ч} \cdot (100 \; - \; 75) = c \cdot m_{в} \cdot (75 \; - \; 15) \] \[ m_{ч} \cdot 25 = m_{в} \cdot 60 \]Выразим отношение массы чая к массе воды:
\[ \frac{m_{ч}}{m_{в}} = \frac{60}{25} = \frac{12}{5} = 2,4 \]Ответ 2): \( \frac{12}{5} \) или \( 2,4 \)
3). Так как чай всё ещё был слишком горячим, Маша добавила в него ещё одну точно такую же порцию холодной воды. Какой станет температура чая после установления нового теплового равновесия? Ответ дайте в виде целого числа градусов Цельсия. Напишите полное решение этой задачи.
После первого добавления воды, у нас есть смесь из чая и воды с температурой \( 75 \) °С. Масса этой смеси равна \( m_{ч} + m_{в} \).
Обозначим:
- \( m_{смеси1} = m_{ч} + m_{в} \)
- \( T_{смеси1} = 75 \) °С
- \( m_{добавки} = m_{в} \) (вторая порция воды, такая же, как первая)
- \( T_{добавки} = 15 \) °С
Обозначим новую температуру равновесия как \( T_{равн2} \).
Количество теплоты, отданное первой смесью:
\[ Q_{отд2} = c \cdot (m_{ч} + m_{в}) \cdot (T_{смеси1} - T_{равн2}) \]\[ Q_{отд2} = c \cdot (m_{ч} + m_{в}) \cdot (75 - T_{равн2}) \]Количество теплоты, полученное добавленной водой:
\[ Q_{пол2} = c \cdot m_{в} \cdot (T_{равн2} - T_{добавки}) \]\[ Q_{пол2} = c \cdot m_{в} \cdot (T_{равн2} - 15) \]Приравниваем количество теплоты, отданное смесью, и полученное водой:
\[ c \cdot (m_{ч} + m_{в}) \cdot (75 - T_{равн2}) = c \cdot m_{в} \cdot (T_{равн2} - 15) \]Сокращаем \( c \):
\[ (m_{ч} + m_{в}) \cdot (75 - T_{равн2}) = m_{в} \cdot (T_{равн2} - 15) \]Из пункта 2 мы знаем, что \( \frac{m_{ч}}{m_{в}} = \frac{12}{5} \), следовательно \( m_{ч} = \frac{12}{5} m_{в} \). Подставим это в уравнение:
\[ (\frac{12}{5} m_{в} + m_{в}) \cdot (75 - T_{равн2}) = m_{в} \cdot (T_{равн2} - 15) \]Выносим \( m_{в} \) из первой скобки:
\[ m_{в} \cdot (\frac{12}{5} + 1) \cdot (75 - T_{равн2}) = m_{в} \cdot (T_{равн2} - 15) \]\( \frac{12}{5} + 1 = \frac{12+5}{5} = \frac{17}{5} \)
\[ m_{в} \cdot \frac{17}{5} \cdot (75 - T_{равн2}) = m_{в} \cdot (T_{равн2} - 15) \]Сокращаем \( m_{в} \):
\[ \frac{17}{5} \cdot (75 - T_{равн2}) = T_{равн2} - 15 \]Раскрываем скобки:
\[ \frac{17 \cdot 75}{5} - \frac{17}{5} T_{равн2} = T_{равн2} - 15 \]\( \frac{17 \cdot 15 \cdot 5}{5} = 17 \cdot 15 = 255 \)
\[ 255 - \frac{17}{5} T_{равн2} = T_{равн2} - 15 \]Переносим члены с \( T_{равн2} \) в одну сторону, а числа — в другую:
\[ 255 + 15 = T_{равн2} + \frac{17}{5} T_{равн2} \]\( 270 = T_{равн2} \cdot (1 + \frac{17}{5}) \)
\( 270 = T_{равн2} \cdot (\frac{5+17}{5}) \)
\( 270 = T_{равн2} \cdot \frac{22}{5} \)
Находим \( T_{равн2} \):
\[ T_{равн2} = 270 \cdot \frac{5}{22} = \frac{1350}{22} \]\( \frac{1350}{22} = \frac{675}{11} \approx 61,36 \) °С
Округляем до целого числа.
Ответ 3): 61 °С.
