5. Даны координаты трех вершин прямоугольника ABCD: A(-4;-2); C(2; 4) и D(2; -2). 1) Начертите этот прямоугольник. 2) Найдите координаты вершины В. 3) Найдите координаты точки пересечения диагоналей прямоугольника. 4) Вычислите площадь и периметр прямоугольника, считая, что длина единичного отрезка координатных осей равна 1 см.

Задание 5. Прямоугольник ABCD

Дано:

• Координаты вершин: A(-4;-2), C(2; 4), D(2; -2).
• Длина единичного отрезка: 1 см.

Найти:

1. Начертить прямоугольник.
2. Координаты вершины B.
3. Координаты точки пересечения диагоналей.
4. Площадь и периметр прямоугольника.

1) Построение прямоугольника

Построим оси координат и отметим заданные точки:

• A(-4;-2): от начала координат влево на 4 единицы и вниз на 2 единицы.
• C(2; 4): от начала координат вправо на 2 единицы и вверх на 4 единицы.
• D(2; -2): от начала координат вправо на 2 единицы и вниз на 2 единицы.

Видно, что точки C и D имеют одинаковую координату x = 2. Это означает, что отрезок CD параллелен оси OY (вертикален). Длина отрезка CD равна \( |4 - (-2)| = |4 + 2| = 6 \) см.

Точки A и D имеют одинаковую координату y = -2. Это означает, что отрезок AD параллелен оси OX (горизонтален). Длина отрезка AD равна \( |2 - (-4)| = |2 + 4| = 6 \) см.

Поскольку CD перпендикулярен AD (вертикальный и горизонтальный отрезки), угол D равен 90°. Это подтверждает, что ABCD — прямоугольник.

Для построения прямоугольника можно использовать SVG.

2) Координаты вершины B

В прямоугольнике противоположные стороны параллельны. Отрезок AD параллелен оси OX, его длина 6. Отрезок CD параллелен оси OY, его длина 6.

Чтобы найти координату B, нужно провести линии, параллельные AD и CD, через точки C и A соответственно.

Вершина B должна иметь такую же координату y, как у точки C (т.е. y=4), и такую же координату x, как у точки A (т.е. x=-4).

Таким образом, координаты вершины B: (-4; 4).

Проверка:

• Расстояние AB: \( |4 - (-2)| = 6 \) (вертикальное).
• Расстояние BC: \( |2 - (-4)| = 6 \) (горизонтальное).
• Угол B - прямой, так как AB параллелен OY, BC параллелен OX.

Ответ: B(-4; 4).

3) Координаты точки пересечения диагоналей

Диагонали прямоугольника пересекаются в точке, которая является серединой каждой из диагоналей. Найдем середину диагонали AC (или BD).

Формула середины отрезка с концами \( (x_1; y_1) \) и \( (x_2; y_2) \) : \( M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}; \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \).

Для диагонали AC:

• A(-4;-2), C(2; 4)
• Середина M: \( x_M = \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)
• Середина M: \( y_M = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)

Точка пересечения диагоналей M(-1; 1).

Проверка для диагонали BD:

• B(-4; 4), D(2; -2)
• Середина M: \( x_M = \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)
• Середина M: \( y_M = \frac{4 + (-2)}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)

Координаты совпадают.

Ответ: (-1; 1).

4) Площадь и периметр прямоугольника

Длина стороны AD (или BC) равна \( |2 - (-4)| = 6 \) см.

Длина стороны CD (или AB) равна \( |4 - (-2)| = 6 \) см.

Получается, что наш прямоугольник является квадратом со стороной 6 см.

Периметр квадрата:

• Формула: \( P = 4a \), где \( a \) — сторона квадрата.
• \( P = 4 \cdot 6 = 24 \) см.

Площадь квадрата:

• Формула: \( S = a^2 \)
• \( S = 6^2 = 36 \) см².

Ответ: Площадь 36 см², периметр 24 см.