5. Даны две параллельные прямые, на первой из которых взяты 4 точки, а на второй – 3 точки. Сколько существует различных треугольников с вершинами в этих точках?

Пошаговое решение:

• Чтобы сформировать треугольник, нам нужно выбрать 3 вершины.
• У нас есть две параллельные прямые: на первой — 4 точки, на второй — 3 точки.
• Мы можем выбрать две точки с первой прямой и одну точку со второй прямой. Количество способов выбрать 2 точки из 4 равно C(4, 2) = \(\frac{4!}{2!(4-2)!}\) = \(\frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1}\) = 6.
• Количество способов выбрать 1 точку из 3 равно C(3, 1) = \(\frac{3!}{1!(3-1)!}\) = \(\frac{3}{1}\) = 3.
• Таким образом, количество треугольников, где две вершины на первой прямой и одна на второй, равно 6 * 3 = 18.
• Мы также можем выбрать одну точку с первой прямой и две точки со второй прямой. Количество способов выбрать 1 точку из 4 равно C(4, 1) = \(\frac{4!}{1!(4-1)!}\) = \(\frac{4}{1}\) = 4.
• Количество способов выбрать 2 точки из 3 равно C(3, 2) = \(\frac{3!}{2!(3-2)!}\) = \(\frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 1}\) = 3.
• Таким образом, количество треугольников, где одна вершина на первой прямой и две на второй, равно 4 * 3 = 12.
• Общее количество различных треугольников равно сумме этих двух случаев: 18 + 12 = 30.

Ответ: 30