5. Дано: ABCD — прямоугольник, BC = 8, ∠CAD = 30°. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Из точки D к диагонали AC проведён перпендикуляр DE. Найти: ∠CDE, S_ABO, S_BCO.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD. В нём \(CD\) — противолежащий катет к углу \(A=30^\circ\), а \(AD=BC=8\).

Высота прямоугольника:

\(CD=AD\cdot\tan 30^\circ=8\cdot\frac{1}{\sqrt3}=\frac{8\sqrt3}{3}\).

Диагональ AC образует с горизонтальной стороной угол 30°. Так как \(DE\perp AC\), угол между DE и вертикальной стороной CD равен:

\(\angle CDE=90^\circ-60^\circ=30^\circ\).

Площадь прямоугольника:

\(S_{ABCD}=8\cdot\frac{8\sqrt3}{3}=\frac{64\sqrt3}{3}\).

Диагонали прямоугольника делят его на четыре равновеликих треугольника, поэтому:

\(S_{ABO}=S_{BCO}=\frac14S_{ABCD}=\frac14\cdot\frac{64\sqrt3}{3}=\frac{16\sqrt3}{3}\).

Ответ: \(\angle CDE=30^\circ\), \(S_{ABO}=\frac{16\sqrt3}{3}\), \(S_{BCO}=\frac{16\sqrt3}{3}\).