5. Дан прямоугольный треугольник АВС, у которого \( \angle C = 90^{\circ} \), катет ВС=6 см и \( \angle A=60^{\circ} \). Найдите:

Решение:

а) остальные стороны \( \triangle ABC \)

В прямоугольном треугольнике \( \angle B = 90^{\circ} - \angle A = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).

1. Найдем катет \( AC \): \( \tan(A) = \frac{BC}{AC} \)
2. \( \tan(60^{\circ}) = \frac{6}{AC} \)
3. \( \sqrt{3} = \frac{6}{AC} \)
4. \( AC = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \) см.
5. Найдем гипотенузу \( AB \): \( \sin(A) = \frac{BC}{AB} \)
6. \( \sin(60^{\circ}) = \frac{6}{AB} \)
7. \( \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{6}{AB} \)
8. \( AB = \frac{6 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} \) см.

б) площадь \( \triangle ABC \)

1. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: \( S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \)
2. \( S = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 6 \)
3. \( S = 6\sqrt{3} \) см².

в) длину высоты, опущенной из вершины С.

1. Площадь также можно найти как \( S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_c \), где \( h_c \) — высота, опущенная на гипотенузу.
2. \( 6\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} \cdot h_c \)
3. \( 6\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \cdot h_c \)
4. \( h_c = \frac{6\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 3 \) см.

Ответ: а) \( AC = 2\sqrt{3} \) см, \( AB = 4\sqrt{3} \) см; б) \( S = 6\sqrt{3} \) см²; в) \( h_c = 3 \) см.