5) cos B = -1/4 16 C 12 A B X

Дано:

• Треугольник ABC, где
• \[ BC = x \]
• \[ AC = 16 \]
• \[ AB = 12 \]
• \[ \cos B = -\frac{1}{4} \]

Найти:

• \[ x \]

Решение:

Воспользуемся теоремой косинусов для нахождения стороны x (сторона BC).

Теорема косинусов гласит:

• \[ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B \]

Подставим известные значения:

• \[ 16^2 = 12^2 + x^2 - 2 \cdot 12 \cdot x \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) \]
• \[ 256 = 144 + x^2 + 6x \]

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

• \[ x^2 + 6x + 144 - 256 = 0 \]
• \[ x^2 + 6x - 112 = 0 \]

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• \[ D = b^2 - 4ac \]
• \[ D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-112) \]
• \[ D = 36 + 448 \]
• \[ D = 484 \]

Найдем корни уравнения:

• \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
• \[ x_1 = \frac{-6 + \sqrt{484}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 22}{2} = \frac{16}{2} = 8 \]
• \[ x_2 = \frac{-6 - \sqrt{484}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 - 22}{2} = \frac{-28}{2} = -14 \]

Поскольку длина стороны треугольника не может быть отрицательной, мы выбираем положительный корень.

Ответ: 8