5. Четырёхугольник АВСР вписан в окружность. Известно, что \( ∠ BDC = 84^{\circ} \), \( ∠ BDA=24^{\circ} \). Найти углы четырёхугольника.

Решение:

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Дано: \( \angle BDC = 84^{\circ} \), \( \angle BDA = 24^{\circ} \).

1. Найдём \( \angle BCA \) и \( \angle BCA \):
2. \( \angle BCA \) опирается на дугу AB, на которую опирается \( \angle BDA \). Поэтому \( \angle BCA = \angle BDA = 24^{\circ} \).
3. \( \angle ACD \) опирается на дугу AD, на которую опирается \( \angle ABD \).
4. \( \angle CAD \) опирается на дугу CD, на которую опирается \( \angle CBD \).
5. \( \angle BAC \) опирается на дугу BC, на которую опирается \( \angle BDC \). Поэтому \( \angle BAC = \angle BDC = 84^{\circ} \).
6. \( \angle CBD \) опирается на дугу CD, на которую опирается \( \angle CAD \).
7. \( \angle ABD \) опирается на дугу AD, на которую опирается \( \angle ACD \).
8. Найдём \( \angle ADC \):
9. \( \angle ADC = \angle BDA + \angle BDC = 24^{\circ} + 84^{\circ} = 108^{\circ} \).
10. Найдём \( \angle ABC \):
11. \( \angle ABC \) и \( \angle ADC \) — противоположные углы вписанного четырёхугольника.
12. \( \angle ABC + \angle ADC = 180^{\circ} \)
13. \( \angle ABC = 180^{\circ} - \angle ADC = 180^{\circ} - 108^{\circ} = 72^{\circ} \).
14. Найдём \( \angle BCD \):
15. \( \angle BCD \) и \( \angle BAD \) — противоположные углы вписанного четырёхугольника.
16. \( \angle BCD = 180^{\circ} - \angle BAD \).
17. \( \angle BAD = \angle BAC + \angle CAD \).
18. \( \angle BCD = 180^{\circ} - \angle BAC - \angle CAD \)
19. \( \angle BCD = 180^{\circ} - 84^{\circ} - \angle CAD = 96^{\circ} - \angle CAD \).
20. Найдём \( \angle CAD \) и \( \angle CBD \):
21. В треугольнике BCD: \( \angle BCD + \angle CBD + \angle BDC = 180^{\circ} \)
22. \( \angle BCD + \angle CBD + 84^{\circ} = 180^{\circ} \)
23. \( \angle BCD + \angle CBD = 96^{\circ} \)
24. Найдём \( \angle ACD \) и \( \angle ABD \):
25. В треугольнике ABD: \( \angle ABD + \angle ADB + \angle BAD = 180^{\circ} \)
26. \( \angle ABD + 24^{\circ} + \angle BAD = 180^{\circ} \)
27. \( \angle ABD + \angle BAD = 156^{\circ} \)
28. Для определения \( \angle CAD \), \( \angle CBD \), \( \angle ACD \), \( \angle ABD \) нужны дополнительные данные или чертёж.
29. Пересчитаем углы четырёхугольника:
30. \( \angle A = \angle BAC + \angle CAD \)
31. \( \angle B = \angle ABC = 72^{\circ} \)
32. \( \angle C = \angle BCD \)
33. \( \angle D = \angle ADC = 108^{\circ} \)
34. Углы \( \angle BAC = 84^{\circ} \) и \( \angle BDC = 84^{\circ} \) означают, что точка A и точка C лежат на одной дуге BC.
35. Углы \( \angle BDA = 24^{\circ} \) и \( \angle BCA = 24^{\circ} \) означают, что точка B и точка D лежат на одной дуге AC.
36. Вписанный четырёхугольник ABCD.
37. \( \angle ABC \) опирается на дугу ADC. \( \angle ADC \) опирается на дугу ABC.
38. \( \angle ADC = \angle ADB + \angle BDC = 24^{\circ} + 84^{\circ} = 108^{\circ} \).
39. \( \angle ABC = 180^{\circ} - \angle ADC = 180^{\circ} - 108^{\circ} = 72^{\circ} \).
40. \( \angle BCD \) опирается на дугу BAD. \( \angle BAD \) опирается на дугу BCD.
41. \( \angle BAC = 84^{\circ} \) (опирается на дугу BC). \( \angle BDC = 84^{\circ} \) (опирается на дугу BC).
42. \( \angle BCA \) опирается на дугу AB. \( \angle BDA = 24^{\circ} \) (опирается на дугу AB). Следовательно, \( \angle BCA = 24^{\circ} \).
43. \( \angle CAD \) опирается на дугу CD. \( \angle CBD \) опирается на дугу CD.
44. \( \angle ABD \) опирается на дугу AD. \( \angle ACD \) опирается на дугу AD.
45. Найдём \( \angle BAD \) и \( \angle BCD \).
46. \( \angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = 84^{\circ} + \angle CAD \).
47. \( \angle BCD = \angle BCA + \angle ACD = 24^{\circ} + \angle ACD \).
48. Сумма углов четырёхугольника равна 360°.
49. \( \angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^{\circ} \)
50. \( \angle BAD + 72^{\circ} + \angle BCD + 108^{\circ} = 360^{\circ} \)
51. \( \angle BAD + \angle BCD = 360^{\circ} - 180^{\circ} = 180^{\circ} \).
52. \( (84^{\circ} + \angle CAD) + (24^{\circ} + \angle ACD) = 180^{\circ} \)
53. \( 108^{\circ} + \angle CAD + \angle ACD = 180^{\circ} \)
54. \( \angle CAD + \angle ACD = 72^{\circ} \).
55. В треугольнике ACD:
56. \( \angle CAD + \angle ACD + \angle ADC = 180^{\circ} \)
57. \( \angle CAD + \angle ACD + 108^{\circ} = 180^{\circ} \)
58. \( \angle CAD + \angle ACD = 72^{\circ} \). Это совпадает.
59. Чтобы найти \( \angle CAD \) и \( \angle ACD \), нам нужно найти \( \angle CBD \) и \( \angle ABD \).
60. \( \angle CBD \) и \( \angle CAD \) опираются на дугу CD.
61. \( \angle ABD \) и \( \angle ACD \) опираются на дугу AD.
62. В треугольнике BCD: \( \angle CBD + \angle BDC + \angle BCD = 180^{\circ} \)
63. \( \angle CBD + 84^{\circ} + \angle BCD = 180^{\circ} \)
64. \( \angle CBD + \angle BCD = 96^{\circ} \)
65. \( \angle CBD + 24^{\circ} + \angle ACD = 96^{\circ} \) (подставили \( \angle BCD = 24^{\circ} + \angle ACD \))
66. \( \angle CBD + \angle ACD = 72^{\circ} \).
67. Из \( \angle CBD + \angle ACD = 72^{\circ} \) и \( \angle CBD + \angle CAD = \angle CBD + 72^{\circ} - \angle ACD = 72^{\circ} \), следует \( \angle CAD = \angle ACD \).
68. Если \( \angle CAD = \angle ACD \), то треугольник ACD равнобедренный.
69. \( \angle CAD + \angle ACD = 72^{\circ} \) \( \implies 2 \angle CAD = 72^{\circ} \) \( \implies \angle CAD = 36^{\circ} \).
70. \( \angle ACD = 36^{\circ} \).
71. \( \angle CBD = 72^{\circ} - \angle ACD = 72^{\circ} - 36^{\circ} = 36^{\circ} \).
72. Проверка: \( \angle CBD + \angle BCD = 36^{\circ} + (24^{\circ} + 36^{\circ}) = 36^{\circ} + 60^{\circ} = 96^{\circ} \). Верно.
73. Найдём углы четырёхугольника:
74. \( \angle A = \angle BAC + \angle CAD = 84^{\circ} + 36^{\circ} = 120^{\circ} \).
75. \( \angle B = \angle ABC = 72^{\circ} \).
76. \( \angle C = \angle BCA + \angle ACD = 24^{\circ} + 36^{\circ} = 60^{\circ} \).
77. \( \angle D = \angle ADC = 108^{\circ} \).
78. Проверка суммы углов: \( 120^{\circ} + 72^{\circ} + 60^{\circ} + 108^{\circ} = 360^{\circ} \). Верно.

Ответ: \( \angle A = 120^{\circ} \), \( \angle B = 72^{\circ} \), \( \angle C = 60^{\circ} \), \( \angle D = 108^{\circ} \).