5. Бельчата решили поиграть в сосновые догонялки. Бельчонок Виктор бросился догонять белочку Милу, когда он был еще на земле, а та уже взобралась на высоту 12 м. Бельчонок Виктор взбирается на сосну со скоростью 14 м/мин, а скорость белки Милы составляет 4/7 скорости бельчонка Виктора. Попрыгивать на соседнюю сосну можно только с самой вершины. Высота сосны 42 м. Сумеет ли бельчонок Виктор догнать Милу? Если да, то через какое время? Дополните решение задачи.

Дано:

• Начальная высота Милы: $$h_0 = 12$$ м
• Скорость Виктора: $$v_В = 14$$ м/мин
• Скорость Милы: $$v_М = \frac{4}{7} v_В$$
• Высота сосны: $$H = 42$$ м

Найти:

• Сможет ли Виктор догнать Милу?
• Время до встречи, если да.

Решение:

1. Рассчитаем скорость Милы:

$$v_М = \frac{4}{7} \times 14$$ м/мин $$= 8$$ м/мин

2. Определим, какую высоту Мила преодолеет за то время, пока Виктор будет подниматься до ее начальной высоты (12 м).

Время подъема Виктора до 12 м: $$t_В = \frac{12 \text{ м}}{14 \text{ м/мин}} = \frac{6}{7}$$ мин

За это время Мила поднимется на: $$h_{М \text{ за } t_В} = v_М \times t_В = 8 \text{ м/мин} \times \frac{6}{7}$$ мин $$= \frac{48}{7}$$ м $$\approx 6.86$$ м

Общая высота Милы, когда Виктор достигнет 12 м: $$h_{М \text{ общая}} = 12 \text{ м} + \frac{48}{7}$$ м $$= \frac{84+48}{7}$$ м $$= \frac{132}{7}$$ м $$\approx 18.86$$ м

3. Сравним скорость Виктора и Милы. Скорость Виктора ($$14$$ м/мин) больше скорости Милы ($$8$$ м/мин). Это значит, что Виктор догонит Милу, если Мила не достигнет вершины раньше.
4. Найдем время, за которое Виктор достигнет высоты 42 м (вершина сосны).

$$t_{В \text{ до верха}} = \frac{42 \text{ м}}{14 \text{ м/мин}} = 3$$ мин

5. Найдем, на какой высоте будет Мила через 3 минуты.

Высота Милы через 3 мин: $$h_М = 12 \text{ м} + v_М \times 3 \text{ мин} = 12 \text{ м} + 8 \text{ м/мин} \times 3 \text{ мин} = 12 \text{ м} + 24 \text{ м} = 36$$ м

6. Сравним высоту Милы (36 м) и высоту сосны (42 м) через 3 минуты. Мила еще не достигла вершины, когда Виктор до нее добрался.
7. Рассчитаем время встречи, используя формулу относительной скорости.

Относительная скорость сближения: $$v_{отн} = v_В - v_М = 14 - 8 = 6$$ м/мин

Разница в начальных высотах: $$\Delta h = 12$$ м

Время до встречи: $$t_{встречи} = \frac{\Delta h}{v_{отн}} = \frac{12 \text{ м}}{6 \text{ м/мин}} = 2$$ мин

8. Проверим, находится ли встреча на вершине сосны.

Высота, на которой произойдет встреча: $$h_{встречи} = v_В \times t_{встречи} = 14 \text{ м/мин} \times 2 \text{ мин} = 28$$ м

Так как 28 м < 42 м, встреча произойдет до вершины сосны.

9. Определим, сможет ли Виктор догнать Милу. Да, сможет, так как его скорость больше.

Дополнения к решению задачи:

1. Скорость Милы: $$8$$ м/мин
2. Скорость сближения бельчат: $$6$$ м/мин
3. Время до встречи: $$2$$ мин
4. Путь Виктора до встречи: $$28$$ м

Ответ: Да, Виктор догонит Милу через 2 минуты.