5^7 \(\equiv\) 5 \(\cdot\) (5^a)^3 \(\equiv\) 5 \(\cdot\) b^3 \(\equiv\) c \(\pmod{13}\).

Решение:

Запись \( 5^7 \equiv 5 \cdot (5^a)^3 \equiv 5 \cdot b^3 \equiv c \pmod{13} \) представляет собой цепочку сравнений по модулю 13.

Рассмотрим первую часть: \( 5^7 \equiv 5 \cdot (5^a)^3 \pmod{13} \).

Используем свойства степеней: \( (5^a)^3 = 5^{3a} \).

Тогда: \( 5^7 \equiv 5 \cdot 5^{3a} = 5^{1+3a} \pmod{13} \).

Чтобы найти \( a \), нам нужно решить сравнение \( 7 \equiv 1 + 3a \pmod{\phi(13)} \).

Поскольку 13 — простое число, \( \phi(13) = 13 - 1 = 12 \).

Следовательно, \( 7 \equiv 1 + 3a \pmod{12} \).

Вычитаем 1 из обеих частей: \( 6 \equiv 3a \pmod{12} \).

Это сравнение имеет решения, когда \( \text{НОД}(3, 12) = 3 \) делит 6. Это верно.

Делим обе части на 3: \( 2 \equiv a \pmod{4} \).

Таким образом, \( a \) может быть равно 2, 6, 10 и т.д. Возьмем наименьшее положительное значение \( a=2 \).

Теперь рассмотрим вторую часть: \( 5 \cdot (5^a)^3 \equiv 5 \cdot b^3 \pmod{13} \).

Подставляем \( a=2 \): \( 5 \cdot (5^2)^3 = 5 x 5^6 = 5^7 \pmod{13} \).

Нам нужно решить \( 5^7 \equiv 5 x b^3 \pmod{13} \).

Вычислим \( 5^7 x \pmod{13} \):

• \( 5^1 x 5 \pmod{13} \)
• \( 5^2 x 25 \equiv 12 \pmod{13} \)
• \( 5^3 x 12 x 5 = 60 \equiv 8 \pmod{13} \)
• \( 5^4 x 8 x 5 = 40 \equiv 1 \pmod{13} \)
• \( 5^7 = 5^4 x 5^3 \equiv 1 x 8 = 8 \pmod{13} \)

Теперь у нас есть: \( 8 \equiv 5 x b^3 \pmod{13} \).

Чтобы найти \( b^3 \), нам нужно умножить обе части на обратное к 5 по модулю 13. \( 5 x x \equiv 1 \pmod{13} \). \( 5 x 8 = 40 \equiv 1 \pmod{13} \). Значит, обратное к 5 — это 8.

Умножаем обе части на 8: \( 8 x 8 \equiv 8 x 5 x b^3 \pmod{13} \).

\( 64 \equiv 1 x b^3 \pmod{13} \).

\( 64 = 4 x 13 + 12 \), так что \( 64 \equiv 12 \pmod{13} \).

\( 12 \equiv b^3 \pmod{13} \).

Теперь нам нужно найти \( b \) такое, что \( b^3 \equiv 12 \pmod{13} \). Проверим кубы чисел по модулю 13:

• \( 1^3 = 1 \pmod{13} \)
• \( 2^3 = 8 \pmod{13} \)
• \( 3^3 = 27 \equiv 1 \pmod{13} \)
• \( 4^3 = 64 \equiv 12 \pmod{13} \)
• \( 5^3 = 125 \equiv 8 \pmod{13} \)
• \( 6^3 = 216 \equiv 8 \pmod{13} \)
• \( 7^3 = 343 \equiv 5 \pmod{13} \)
• \( 8^3 = 512 \equiv 8 \pmod{13} \)
• \( 9^3 = 729 \equiv 1 \pmod{13} \)
• \( 10^3 = 1000 \equiv 12 \pmod{13} \)
• \( 11^3 = 1331 \equiv 5 \pmod{13} \)
• \( 12^3 = (-1)^3 = -1 \equiv 12 \pmod{13} \)

Итак, \( b \) может быть 4, 10 или 12.

Последняя часть: \( 5 \cdot b^3 \equiv c \pmod{13} \).

При \( b=4 \), \( b^3 = 64 \equiv 12 \pmod{13} \). Тогда \( c \equiv 5 x 12 = 60 \equiv 8 \pmod{13} \).

При \( b=10 \), \( b^3 = 1000 \equiv 12 \pmod{13} \). Тогда \( c \equiv 5 x 12 = 60 \equiv 8 \pmod{13} \).

При \( b=12 \), \( b^3 = 12^3 \equiv 12 \pmod{13} \). Тогда \( c \equiv 5 x 12 = 60 \equiv 8 \pmod{13} \).

В любом случае, \( c \equiv 8 \pmod{13} \). Мы можем выбрать \( a=2 \) и \( b=4 \).

Проверка: \( 5^7 \equiv 8 \pmod{13} \).

\( 5 x (5^2)^3 = 5 x (25)^3 \equiv 5 x 12^3 \equiv 5 x 12 \equiv 60 \equiv 8 \pmod{13} \).

\( 5 x b^3 = 5 x 4^3 = 5 x 64 \equiv 5 x 12 \equiv 60 \equiv 8 \pmod{13} \).

\( c = 8 \pmod{13} \).

Следовательно, \( a=2 \), \( b=4 \) (или \( b=10 \), \( b=12 \)), \( c=8 \).

Ответ: \( a=2 \), \( b=4 \), \( c=8 \).