5^{3x+1} + 34 · 5^{2x} - 7 · 5^x = 0

Решение:

Данное уравнение является показательным. Для его решения сделаем замену переменной.

1. Преобразуем первое слагаемое: \( 5^{3x+1} = 5^{3x} · 5^1 = 5 · (5^x)^3 \).
2. Второе слагаемое: \( 34 · 5^{2x} = 34 · (5^x)^2 \).
3. Третье слагаемое: \( -7 · 5^x \).
4. Уравнение примет вид: \( 5 · (5^x)^3 + 34 · (5^x)^2 - 7 · 5^x = 0 \).
5. Сделаем замену переменной: пусть \( y = 5^x \). Так как \( 5^x > 0 \) для любого \( x \), то \( y > 0 \).
6. Уравнение с новой переменной: \( 5y^3 + 34y^2 - 7y = 0 \).
7. Вынесем \( y \) за скобки: \( y(5y^2 + 34y - 7) = 0 \).
8. Так как \( y > 0 \), то \( y ≠ 0 \), следовательно, \( 5y^2 + 34y - 7 = 0 \).
9. Решим квадратное уравнение \( 5y^2 + 34y - 7 = 0 \) с помощью дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac = 34^2 - 4 · 5 · (-7) = 1156 + 140 = 1296 \).
10. \( √{D} = √{1296} = 36 \).
11. Найдем корни: \( y_1 = \frac{-34 + 36}{2 · 5} = \frac{2}{10} = 0.2 \). \( y_2 = \frac{-34 - 36}{2 · 5} = \frac{-70}{10} = -7 \).
12. Так как \( y > 0 \), то \( y = -7 \) не подходит. Единственный корень \( y = 0.2 \).
13. Вернемся к замене: \( 5^x = y \), значит \( 5^x = 0.2 \).
14. Представим \( 0.2 \) как степень пятерки: \( 0.2 = \frac{1}{5} = 5^{-1} \).
15. Уравнение примет вид: \( 5^x = 5^{-1} \).
16. Приравниваем показатели степеней: \( x = -1 \).

Ответ: x = -1.