5.2. Розв'яжіть нерівність 4x^2 - 3 - 2x^2 - 3 - 12 \(\le\) 0.

Решение:

1. Упростим неравенство:

\[ 4x^2 - 3 - 2x^2 - 3 - 12 \le 0 \]

\[ (4x^2 - 2x^2) + (-3 - 3 - 12) \le 0 \]

\[ 2x^2 - 18 \le 0 \]

2. Разделим обе части на 2:

\[ x^2 - 9 \le 0 \]

3. Разложим на множители как разность квадратов:

\[ (x - 3)(x + 3) \le 0 \]

4. Найдём корни уравнения \( (x - 3)(x + 3) = 0 \):

\[ x_1 = 3, x_2 = -3 \]

5. Определим знаки на интервалах, образованных корнями:
• Интервал \( (-\infty, -3) \): Возьмём \( x = -4 \). \( (-4 - 3)(-4 + 3) = (-7)(-1) = 7 > 0 \) (плюс).
• Интервал \( (-3, 3) \): Возьмём \( x = 0 \). \( (0 - 3)(0 + 3) = (-3)(3) = -9 \le 0 \) (минус).
• Интервал \( (3, \infty) \): Возьмём \( x = 4 \). \( (4 - 3)(4 + 3) = (1)(7) = 7 > 0 \) (плюс).
6. Так как неравенство \( \le 0 \), нас интересует интервал, где выражение отрицательно или равно нулю.

Ответ: \( x \in [-3; 3] \).