5. (1 балл) Точка М лежит вне окружности с центром в точке О. Точка К принадлежит окружности. Докажите, что если ∠KMO + ∠MOK = 90°, то прямая МК — касательная к окружности.

Доказательство:

Дано: Окружность с центром O. Точка M вне окружности. Точка K на окружности. \( \angle KMO + \angle MOK = 90^{\circ} \).

Требуется доказать: Прямая MK — касательная к окружности.

Рассмотрим треугольник MOK. Сумма углов в любом треугольнике равна 180°. Следовательно:

\( \angle KMO + \angle MOK + \angle OKM = 180^{\circ} \)

По условию, \( \angle KMO + \angle MOK = 90^{\circ} \). Подставим это значение в уравнение:

\( 90^{\circ} + \angle OKM = 180^{\circ} \)

Отсюда найдем угол \( \angle OKM \):

\( \angle OKM = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} \)

Теперь вспомним признак касательной к окружности: прямая называется касательной к окружности, если она перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

В нашем случае, OK является радиусом окружности, проведенным к точке K. Мы доказали, что \( \angle OKM = 90^{\circ} \), что означает, что радиус OK перпендикулярен прямой MK в точке K.

Следовательно, по признаку касательной, прямая MK является касательной к окружности с центром O.

Что и требовалось доказать.